Подальші перспективи
Очікується, що гіперкомплексний сигнал розширить всі корисні властивості, які ми маємо в одновимірному випадку. Перш за все ми повинні бути в змозі отримати і узагальнити миттєву амплітуду і фазу до вимірам. По-друге, спектр Фур’є складного аналітичного сигналу підтримується лише на позитивних частотах, тому ми очікуємо, що гиперкомплексное перетворення Фур’є буде мати свій гиперзначный спектр, який буде підтримуватися тільки в деякому позитивному квадранті гиперкомплексного простору. Тому це дуже важливо.
По-третє, зв’язані частини складного поняття аналітичного сигналу пов’язані з перетворенням Гільберта, і ми можемо очікувати, що зв’язані компоненти в гиперкомплексном просторі повинні бути пов’язані також деякою комбінацією перетворень Гільберта. І, нарешті, дійсно, гіперкомплексний сигнал повинен бути визначений як продовження деякої гиперкомплексной голоморфной функції декількох гіперкомплексний змінних, визначених на кордоні деякої форми в гиперкомплексном просторі.
Ми вирішуємо ці проблеми в послідовному порядку. Насамперед, ми почнемо з розгляду інтегральної формули Фур’є і покажемо, що перетворення Гільберта в 1-D пов’язано з модифікованою інтегральною формулою Фур’є. Цей факт дозволяє нам визначати миттєву амплітуду, фазу і частоту без будь-якого посилання на гиперкомплексные системи числення і голоморфные функції.
