Аналітичний сигнал: поняття, формули визначення та застосування

В математиці і обробці поняття аналітичного сигналу (для стислості – С, АС) є комплексною функцією, яка не має негативних частотних складових. Дійсна та уявна частини цього явища є речовими функціями, пов’язаними один з одним перетворенням Гільберта. Аналітичний сигнал – це в хімії досить поширене явище, суть якого аналогічна математичного визначення цього поняття.

Подання

Аналітичне представлення речовій функції – це аналітичний сигнал, що містить вихідну функцію і її перетворення Гільберта. Це уявлення полегшує багато математичні маніпуляції. Основна ідея полягає в тому, що негативні частотні компоненти перетворення Фур’є (або спектра) речовій функції надлишкові через эрмитовой симетрії такого спектру. Ці негативні частотні компоненти не можуть бути відкинуті без втрати інформації, за умови, що замість цього ви захочете мати справу зі складною функцією. Це робить певні атрибути функції більш доступними і полегшує висновок методів модуляції і демодуляції, таких як односмугова смуга.

Негативні компоненти

Поки маніпулювати функція не має негативних частотних компонентів (тобто вона все ще аналітична), перетворення складного назад в реальне – це просто питання відкидання уявної частини. Аналітичне представлення є узагальненням концепції вектора: у той час як вектор обмежений незмінною в часі амплітудою, фазою та частотою, якісний аналіз аналітичного сигналу допускає змінні в часі параметри.

Миттєва амплітуда, миттєва фаза і частота в деяких додатках використовуються для вимірювання та виявлення локальних особливостей С. Інше застосування аналітичного подання відноситься до демодуляції модульованих сигналів. Полярні координати зручно поділяють ефекти амплітудної та фазової модуляції (або частотної) модуляції і ефективно демодулируют певні види.

Тоді простий фільтр нижніх частот з дійсними коефіцієнтами може обрізати потрібну частину. Іншим мотивом є зниження максимальної частоти, що знижує мінімальну частоту для вибірки без псевдонімів. Зсув частоти не підриває математичну придатність подання. Таким чином, в цьому сенсі перетворений з пониженням все ще є аналітичним. Однак відновлення речового подання більше не є простою справою простого витягання реального компонента. Може знадобитися перетворення з підвищенням частоти, і, якщо сигнал дискретизирован (дискретний час), може також знадобитися інтерполяція (підвищувальна дискретизацію), щоб уникнути накладення.

Дивіться також:  Самі довгі облоги фортець

Змінні

Концепція чітко визначена для феноменів однієї змінної, яка зазвичай є тимчасовим. Ця тимчасовість бентежить багатьох початківців математиків. Для двох або більше змінних аналітичний може бути визначений по-різному, і два підходу представлені нижче.

Дійсна та уявна частини цього феномену відповідають двом елементам векторнозначного моногенних сигналу, як це визначено для аналогічних феноменів з однією змінною. Тим не менш моногенних може бути розширений до довільного числа змінних простим способом, створюючи (n + 1) -мірний векторну функцію для випадку n-змінних сигналів.

Перетворення сигналів

Ви можете перетворити речовинний сигнал аналітичний, додавши уявний (Q) компонент, який є перетворенням Гільберта реального компонента.

До речі, це не ново для його цифрової обробки. Один із традиційних способів генерації AM з однією бічною смугою (SSB) – метод фазування – включає в себе створення сигналів шляхом генерації перетворення Гільберта аудіосигналу в аналоговій мережі резистор-конденсатор. Оскільки він має лише позитивні частоти, його легко перетворити у модульований РЧ-сигнал тільки з однією бічною смугою.

Формули визначення

Аналітичний вираз сигналу – це голоморфная комплексна функція, визначена на межі верхньої комплексної півплощини. Межа верхньої півплощини збігається з рандомом, тому З задається відображенням fa: R → C. Починаючи з середини минулого століття, коли в 1946 році Дені Габор запропонував використовувати цей феномен для вивчення постійної амплітуди і фази, сигнал знайшов безліч застосувань. Особливість цього явища була підкреслена [Vak96], де було показано, що тільки якісний аналіз аналітичного сигналу відповідає фізичним умовам для амплітуди, фази та частоти.

Останні досягнення

Протягом останніх декількох десятиліть з’явився інтерес до дослідження сигналу в багатьох вимірах, мотивованих проблемами, що виникають в областях, від обробки зображення / відео до багатовимірних коливальних процесів у фізиці, таких як сейсмічні, електромагнітні і гравітаційні хвилі. В основному було прийнято, що для правильного узагальнення аналітичного С (якісного аналізу) на випадок декількох вимірювань слід покладатися на алгебраїчну конструкцію, яка розширює звичайні комплексні числа зручним чином. Такі конструкції зазвичай називають гиперкомплексными числами [SKE].

Дивіться також:  Чим відрізняється розум від розуму? Основні відмінності та функції

Нарешті, слід мати можливість побудувати гіперкомплексний аналітичний сигнал fh: Rd → S, де представлена деяка загальна гиперкомплексная алгебраїчна система, яка природним чином розширює всі необхідні властивості для отримання миттєвої амплітуди і фази.

Вивчення

Ряд робіт присвячений різним питанням, пов’язаним з правильним вибором гиперкомплексной системи числення, визначення гиперкомплексного перетворення Фур’є і дробових перетворень Гільберта для вивчення миттєвої амплітуди і фази. В основному ці роботи були засновані на властивостях різних просторів, таких як Cd, кватерніони, алгебри Клирона і конструкції Келі-Діксона.

Далі ми перерахуємо лише деякі з робіт, присвячених дослідженню сигналу у багатьох вимірах. Наскільки нам відомо, перші роботи по багатовимірному методом були отримані на початку 1990-х років. До них можна віднести роботу Ел [Ell92] гиперкомплексным перетворень; роботу Бюлова з узагальнення методу аналітичної реакції (аналітичного сигналу) на багато вимірювання [BS01] і роботу Фельсберга і Соммера про моногенних сигналах.

Подальші перспективи

Очікується, що гіперкомплексний сигнал розширить всі корисні властивості, які ми маємо в одновимірному випадку. Перш за все ми повинні бути в змозі отримати і узагальнити миттєву амплітуду і фазу до вимірам. По-друге, спектр Фур’є складного аналітичного сигналу підтримується лише на позитивних частотах, тому ми очікуємо, що гиперкомплексное перетворення Фур’є буде мати свій гиперзначный спектр, який буде підтримуватися тільки в деякому позитивному квадранті гиперкомплексного простору. Тому це дуже важливо.

По-третє, зв’язані частини складного поняття аналітичного сигналу пов’язані з перетворенням Гільберта, і ми можемо очікувати, що зв’язані компоненти в гиперкомплексном просторі повинні бути пов’язані також деякою комбінацією перетворень Гільберта. І, нарешті, дійсно, гіперкомплексний сигнал повинен бути визначений як продовження деякої гиперкомплексной голоморфной функції декількох гіперкомплексний змінних, визначених на кордоні деякої форми в гиперкомплексном просторі.

Дивіться також:  Обтяжувати: значення слова, синоніми

Ми вирішуємо ці проблеми в послідовному порядку. Насамперед, ми почнемо з розгляду інтегральної формули Фур’є і покажемо, що перетворення Гільберта в 1-D пов’язано з модифікованою інтегральною формулою Фур’є. Цей факт дозволяє нам визначати миттєву амплітуду, фазу і частоту без будь-якого посилання на гиперкомплексные системи числення і голоморфные функції.

Модифікування інтегралів

Ми продовжуємо, узагальнюючи модифіковану формулу інтеграла Фур’є на кілька вимірів, і визначаємо всі необхідні зсунуті по фазі компоненти, які ми можемо зібрати в миттєву амплітуду і фазу. По-друге, ми звернемося до питання про існування голоморфных функцій кількох гіперкомплексний змінних. Після роботи [Sch93] з’ясовується, що коммутативная і асоціативна алгебра гиперкомплекса, породжена набором еліптичних (e2i = -1) генераторів, є відповідним простором, для того щоб гіперкомплексний аналітичний сигнал міг жити, ми називаємо таку гиперкомплексную алгебру простором Шеферса і позначаємо її Sd.

Тому гиперкомплекс аналітичних сигналів визначається як голоморфная функція на кордоні полидиска / верхньої половини площини в деякому гиперкомплексном просторі, яке ми називаємо загальним простором Шеферса, і позначаємо через Sd. Потім ми спостерігаємо справедливість інтегральної формули Коші для функцій Sd → Sd, які обчислюються за гіперповерхні всередині полидиска в Sd і виводять відповідні дробові перетворення Гільберта, що зв’язують гиперкомплексные зв’язані компоненти. Нарешті, виявляється, що перетворення Фур’є зі значеннями в просторі Шеферса підтримується тільки на невід’ємних частотах. Завдяки цій статті ви дізналися, що є аналітичним сигналом.