Матриці: метод Гаусса. Обчислення матриці методом Гаусса: приклади

Загальна інформація про метод Гауса

У лінійної алгебри методом Гаусса називається класичний спосіб вирішення СЛУ. Він носить ім’я Карла Фрідріха Гаусса, який жив у XVIII–XIX ст. Це один з найвидатніших математиків всіх часів. Суть методу Гауса полягає у виконанні елементарних перетворень над системою лінійних алгебраїчних рівнянь. За допомогою перетворень СЛУ приводиться до рівносильній системі трикутної (ступеневої) форми, з якої можна знайти всі змінні.

Варто відзначити, що Карл Фрідріх Гаусс не є першовідкривачем класичного способу вирішення системи лінійних рівнянь. Метод був придуманий набагато раніше. Перше його опис зустрічається в енциклопедії знань стародавніх китайських математиків, що носить назву «Математика в 9 книгах».

Приклад рішення СЛУ методом Гауса

Розглянемо на конкретному прикладі розв’язування систем методом Гаусса. Будемо працювати з СЛУ, представленої на зображенні.

Алгоритм розв’язання:

Прямим ходом методу Гауса наведемо систему до ступінчастою формою, але для початку складемо розширену матрицю з числових коефіцієнтів і вільних членів.

Щоб вирішити матрицю методом Гауса (тобто привести її до ступінчастому увазі), з елементів другого і третього рядків віднімемо послідовно елементи першого рядка. Отримаємо в першому стовпі під «провідним елементом нулі. Далі поміняємо другу і третю сходинки місцями для зручності. До елементів останнього рядка додамо послідовно елементи другого рядка, помножені на 3.

В результаті обчислення матриці методом Гаусса ми отримали ступінчастий масив елементів. На його основі складемо нову систему лінійних рівнянь. Зворотним ходом методу Гауса знаходимо значення невідомих членів. З останнього лінійного рівняння видно, що x3 дорівнює 1. Підставляємо це значення в другу сходинку системи. Вийде рівняння x2 – 4 = -4. Звідси випливає, що x2 дорівнює 0. Підставляємо x2 і x3 в перше рівняння системи: x1 + 0 +3 = 2. Невідомий член дорівнює -1.

Відповідь: використовуючи матрицю, метод Гаусса, ми знайшли значення невідомих; x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1.