Лінійна алгебра, яка викладається у вузах на різних спеціальностях, об’єднує чимало складних тем. Одні з них пов’язані з матрицями, а також з рішенням систем лінійних рівнянь методами Гаусса і Гаусса – Жордана. Не всім студентам вдається зрозуміти ці теми, алгоритми розв’язання різних завдань. Давайте разом розберемося в матрицях і методи Гаусса і Гаусса – Жордана.
Основні поняття
Під матрицею в лінійній алгебрі розуміється прямокутний масив елементів (таблиця). Нижче представлені набори елементів, укладені в круглі дужки. Це і є матриці. З наведеного прикладу видно, що елементами в прямокутних масивах є не тільки числа. Матриця може складатися з математичних функцій, алгебраїчних символів.
Для того щоб розібратися з деякими поняттями, складемо матрицю A з елементів aij. Індекси є не просто літерами: i – номер рядка в таблиці, а j – номер стовпця, в області перетину яких розташований елемент aij. Отже, ми бачимо, що у нас вийшла матриця з таких елементів, як a11, a21, a12, a22 і т. д. Буквою n ми позначили число стовпців, а буквою m – число рядків. Символ m × n означає розмірність матриці. Це те поняття, яке визначає кількість рядків і стовпців в прямокутному масиві елементів.
Необов’язково в матриці повинно бути декілька стовпців і рядків. При розмірності 1 × n масив елементів є однострочным, а при розмірності m × 1 – одностолбцовым. При рівності числа числа рядків і стовпців матрицю називають квадратною. У кожної квадратної матриці є визначник (det A). Під цим терміном розуміється число, яке ставиться у відповідність матриці A.
Ще кілька важливих понять, які треба запам’ятати для успішного вирішення матриць, – це головна і побічна діагоналі. Під головною діагоналлю матриці розуміється та діагональ, яка іде вниз у правий кут таблиці з лівого кута зверху. Побічна діагональ йде в правий кут вгору з лівого кута знизу.
Ступінчастий вигляд матриці
Погляньте на картинку, яка представлена нижче. На ній ви побачите матрицю і схему. Розберемося спочатку з матрицею. У лінійній алгебрі матриця такого виду називається ступінчастою. Їй притаманне одна властивість: якщо aij є у i-й рядку першим ненульовим елементом, то всі інші елементи матриці, що стоять нижче і лівіше aij, є нульовими (тобто всі ті елементи, яким можна дати літерне позначення akl, де k>i, l<j).
Тепер розглянемо схему. Вона відображає східчасту форму матриці. У схемі представлено 3 вида клітин. Кожен вид позначає певні елементи:
- порожні клітини – нульові елементи матриці;
- заштриховані клітини – довільні елементи, які можуть бути нульовими, так і ненульовими;
- чорні квадратики – ненульові елементи, які називаються кутовими елементами, «сходинками» (у поданій поруч матриці такими елементами є цифри -1, 5, 3, 8).
При вирішенні матриць іноді виходить такий результат, коли «довжина» сходинки виявляється більше 1. Таке допускається. Важлива лише «висота» сходинок. У матриці ступінчастого вигляду цей параметр повинен бути завжди рівним одиниці.
Приведення матриці до ступеневою
Будь-яка прямокутна матриця може бути перетворена до ступінчастого вигляду. Робиться це завдяки елементарним перетворенням. Вони включають в себе:
- перестановку рядків місцями;
- додаток до однієї рядку іншого рядка, при необхідності помноженої на яке-небудь число (можна також робити операцію віднімання).
Розглянемо елементарні перетворення в рішенні конкретної задачі. На малюнку нижче представлена матриця A, яку потрібно привести до ступінчастому увазі.
Для того щоб вирішити завдання, будемо слідувати алгоритму:
- Зручно виконувати перетворення над такою матрицею, у якої перший елемент у верхньому кутку з лівого боку (тобто «ведучий» елемент) дорівнює 1 або -1. У нашому випадку перший елемент у верхній рядку дорівнює 2, тому поміняємо першу і другу сходинки місцями.
- Виконаємо операції віднімання, торкнувшись рядка № 2, 3 і 4. Ми повинні отримати в першому стовпці під «провідним елементом нулі. Для досягнення такого результату: з елементів рядка № 2 віднімемо послідовно елементи рядка № 1, помножені на 2; з елементів рядка № 3 віднімемо послідовно елементи рядка № 1, помножені на 4; з елементів рядка № 4 віднімемо послідовно елементи рядка № 1.
- Далі будемо працювати з укороченою матрицею (без стовпця № 1 та без рядка № 1). Новий «ведучий» елемент, що стоїть на перетині другого стовпця і другий рядки, дорівнює -1. Переставляти рядки не потрібно, тому переписуємо без змін перший стовпець і першу і другу рядка. Виконаємо операції віднімання, щоб у другому стовпці під «провідним елементом отримати нулі: з елементів третього рядка віднімемо послідовно елементи другого рядка, помножені на 3; з елементів четвертої рядка віднімемо послідовно елементи другого рядка, помножені на 2.
- Залишилось змінити останній рядок. З її елементів віднімемо послідовно елементи третього рядка. Таким чином ми отримали ступеневу матрицю.
Приведення матриць до ступеневою використовується в розв’язуванні систем лінійних рівнянь (ВИПАДА) методом Гаусса. Перед розглядом цього методу давайте розберемося в термінах, що мають відношення до СЛУ.
Матриці системи лінійних рівнянь
Матриці застосовуються в різних науках. З використанням таблиць з чисел можна, наприклад, розв’язувати лінійні рівняння, об’єднані в систему, методом Гаусса. Для початку давайте познайомимося з декількома термінами та їх визначеннями, а також подивимося, як з системи, об’єднуючої декілька лінійних рівнянь, що складається матриця.
СЛУ – кілька об’єднаних алгебраїчних рівнянь, у яких присутні невідомі в першій мірі і відсутні члени, що представляють собою добуток невідомих.
Рішення СЛУ – знайдені значення невідомих, при підстановці яких рівняння в системі стають тождествами.
Спільна СЛУ – така система рівнянь, у якій є хоча б одне рішення.
Несовместная СЛУ – система рівнянь, яка не має рішень.
Як же складається матриця на основі системи, що об’єднує лінійні рівняння? Існують такі поняття, як основна і розширеної матриці системи. Для того щоб отримати основну матрицю системи, необхідно винести в таблицю всі коефіцієнти при невідомих. Розширена матриця виходить шляхом приєднання до основної матриці стовпця вільних членів (в нього входять відомі елементи, до яких у системі прирівнюється кожне рівняння). Зрозуміти весь цей процес можна, вивчивши картинку нижче.
Перше, що ми бачимо на картинці – це систему, що включає в себе лінійні рівняння. Її елементи: aij – числові коефіцієнти, xj – невідомі величини, bi – вільні члени (де i = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, n). Другий елемент на картинці – основна матриця з коефіцієнтів. З кожного рівняння коефіцієнти записуються в рядок. У підсумку виходить в матриці стільки рядків, скільки рівнянь входить у систему. Кількість стовпців дорівнює найбільшій кількості коефіцієнтів у якому-небудь відношенні. Третій елемент на картинці – розширена матриця зі стовпцем вільних членів.
Загальна інформація про метод Гауса
У лінійної алгебри методом Гаусса називається класичний спосіб вирішення СЛУ. Він носить ім’я Карла Фрідріха Гаусса, який жив у XVIII–XIX ст. Це один з найвидатніших математиків всіх часів. Суть методу Гауса полягає у виконанні елементарних перетворень над системою лінійних алгебраїчних рівнянь. За допомогою перетворень СЛУ приводиться до рівносильній системі трикутної (ступеневої) форми, з якої можна знайти всі змінні.
Варто відзначити, що Карл Фрідріх Гаусс не є першовідкривачем класичного способу вирішення системи лінійних рівнянь. Метод був придуманий набагато раніше. Перше його опис зустрічається в енциклопедії знань стародавніх китайських математиків, що носить назву «Математика в 9 книгах».
Приклад рішення СЛУ методом Гауса
Розглянемо на конкретному прикладі розв’язування систем методом Гаусса. Будемо працювати з СЛУ, представленої на зображенні.
Алгоритм розв’язання:
Відповідь: використовуючи матрицю, метод Гаусса, ми знайшли значення невідомих; x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1.
Метод Гаусса – Жордана
У лінійної алгебри є ще таке поняття, як метод Гаусса – Жордана. Він вважається модифікацією методу Гауса і застосовується при знаходженні зворотної матриці, обчислення невідомих членів квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гаусса – Жордана зручний тим, що він в один етап дозволяє вирішити СЛУ (без застосування прямого і зворотного ходів).
Почнемо з терміну «зворотна матриця». Припустимо, у нас є матриця A. Зворотної для неї буде матриця A-1, при цьому обов’язково виконується умова: A × A-1 = A-1 × A = E, тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці (у одиничної матриці елементи головної діагоналі є одиницями, а інші елементи дорівнюють нулю).
Важливий нюанс: у лінійній алгебрі є теорема існування оберненої матриці. Достатню і необхідну умову існування матриці A-1 – невиродженість матриці A. При невырожденности det A (визначник) не дорівнює нулю.
Основні кроки, на яких ґрунтується метод Гаусса – Жордана:
Приклад знаходження оберненої матриці методом Гаусса – Жордана
Для обчислення оберненої матриці потрібно записати розширену матрицю A|E і виконати необхідні перетворення. Розглянемо простий приклад. На малюнку нижче представлена матриця A.
Рішення:
Приклад рішення СЛУ методом Гауса – Жордана
На малюнку представлена система лінійних рівнянь. Потрібно знайти значення невідомих змінних, використовуючи матрицю, метод Гауса – Жордана.
Рішення:
При бажанні можна перевірити правильність рішення, підставивши обчислені значення у рівняння:
- 0 – 1 = -1, перше тотожність з системи є вірним;
- 0 + 1 + (-1) = 0, друге тотожність з системи є вірним;
- 0 – 1 + (-1) = -2, третє тотожність з системи є вірним.
Висновок: використовуючи метод Гаусса – Жордана, ми знайшли правильне рішення квадратної системи, що об’єднує лінійні алгебраїчні рівняння.
Онлайн-калькулятори
Життя сучасної молоді, яка навчається у вузах і вивчає лінійну алгебру, значно спростилася. Ще кілька років тому знаходити рішення систем методом Гаусса та Гаусса – Жордана доводилося самостійно. Одні студенти успішно справлялися з завданнями, а інші плуталися в рішенні, робили помилки, просили у однокурсників допомоги. Сьогодні можна при виконанні домашнього завдання користуватися онлайн-калькуляторами. Для вирішення систем лінійних рівнянь, пошуку зворотних матриць написані програми, які демонструють не тільки правильні відповіді, але і показують хід вирішення тієї чи іншої задачі.
В інтернеті є чимало ресурсів з вбудованими онлайн-калькуляторами. Матриці методом Гаусса, системи рівнянь вирішуються цими програмами за кілька секунд. Студентам потрібно лише вказувати необхідні параметри (наприклад, кількість рівнянь, кількість змінних).
