Матриці: метод Гаусса. Обчислення матриці методом Гаусса: приклади
Приклад знаходження оберненої матриці методом Гаусса – Жордана
Для обчислення оберненої матриці потрібно записати розширену матрицю A|E і виконати необхідні перетворення. Розглянемо простий приклад. На малюнку нижче представлена матриця A.
Рішення:
Для початку знайдемо визначник матриці методом Гаусса (det A). Якщо цей параметр не виявиться рівним нулю, то матриця буде вважатися невырожденной. Це дозволить нам зробити висновок про те, що у A точно є A-1. Для обчислення визначника перетворимо матрицю до ступінчастої форми елементарними перетвореннями. Підрахуємо число K, що дорівнює числу перестановок рядків. Рядки ми міняли місцями всього 1 раз. Обчислимо визначник. Його значення буде дорівнює добутку елементів головної діагоналі, помноженому на (-1)K. Результат обчислення: det A = 2.
Складемо розширену матрицю, додавши до вихідної матриці одиничну матрицю. Отриманий масив елементів, будемо використовувати для знаходження оберненої матриці методом Гаусса – Жордана.
Перший елемент першого рядка дорівнює одиниці. Нас це влаштовує, тому що не потрібно переставляти рядки і ділити цей рядок на яке-небудь число. Починаємо працювати з другої і третьої рядками. Щоб перший елемент, у другому рядку перетворився в 0, віднімемо від другого рядка перший рядок, помножену на 3. З третього рядка віднімемо перший (множення не потрібно).
В отриманій матриці другий елемент другого рядка дорівнює -4, а другий елемент третього рядка дорівнює -1. Поміняємо рядки місцями для зручності. З третього рядка віднімемо другий рядок, помножену на 4. Другу сходинку розділимо на -1, а третю – на 2. Отримаємо верхню трикутну матрицю.
З другого рядка віднімемо останню сходинку, помножену на 4, з першої строчки – останню сходинку, помножену на 5. Далі віднімемо з першого рядка другий рядок, помножену на 2. З лівого боку ми отримали одиничну матрицю. Справа знаходиться обернена матриця.
