Метод Гаусса – Жордана
У лінійної алгебри є ще таке поняття, як метод Гаусса – Жордана. Він вважається модифікацією методу Гауса і застосовується при знаходженні зворотної матриці, обчислення невідомих членів квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гаусса – Жордана зручний тим, що він в один етап дозволяє вирішити СЛУ (без застосування прямого і зворотного ходів).
Почнемо з терміну «зворотна матриця». Припустимо, у нас є матриця A. Зворотної для неї буде матриця A-1, при цьому обов’язково виконується умова: A × A-1 = A-1 × A = E, тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці (у одиничної матриці елементи головної діагоналі є одиницями, а інші елементи дорівнюють нулю).
Важливий нюанс: у лінійній алгебрі є теорема існування оберненої матриці. Достатню і необхідну умову існування матриці A-1 – невиродженість матриці A. При невырожденности det A (визначник) не дорівнює нулю.
Основні кроки, на яких ґрунтується метод Гаусса – Жордана:
Погляньте на перший рядок конкретної матриці. Метод Гаусса – Жордана можна починати застосовувати, якщо перше значення не дорівнює нулю. Якщо ж на першому місці стоїть 0, то поміняйте рядки місцями так, щоб перший елемент мав відмінне від нуля значення (бажано, щоб число було ближче до одиниці).Розділіть всі елементи першого рядка на перше число. У вас вийде рядок, що починається з одиниці.З другого рядка відніміть перший рядок, помножену на перший елемент другого рядка, тобто в результаті у вас вийде рядок, що починається з нуля. Аналогічні дії виконайте з іншими рядками. Для того щоб по діагоналі виходили одиниці, ділите кожну рядок на її перший ненульовий елемент.У підсумку ви отримаєте верхню трикутну матрицю методом Гауса – Жордана. У ній головна діагональ представлена одиницями. Нижній кут заповнений нулями, а верхній кут – різноманітними значеннями.З передостаннього рядка відніміть останню сходинку, помножену на необхідний коефіцієнт. У вас повинна вийти рядок з нулями і одиницею. Для інших рядків повторіть аналогічну дію. Після всіх перетворень вийде одинична матриця.
Сторінка:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
