Приведення матриці до ступеневою
Будь-яка прямокутна матриця може бути перетворена до ступінчастого вигляду. Робиться це завдяки елементарним перетворенням. Вони включають в себе:
- перестановку рядків місцями;
- додаток до однієї рядку іншого рядка, при необхідності помноженої на яке-небудь число (можна також робити операцію віднімання).
Розглянемо елементарні перетворення в рішенні конкретної задачі. На малюнку нижче представлена матриця A, яку потрібно привести до ступінчастому увазі.
Для того щоб вирішити завдання, будемо слідувати алгоритму:
- Зручно виконувати перетворення над такою матрицею, у якої перший елемент у верхньому кутку з лівого боку (тобто «ведучий» елемент) дорівнює 1 або -1. У нашому випадку перший елемент у верхній рядку дорівнює 2, тому поміняємо першу і другу сходинки місцями.
- Виконаємо операції віднімання, торкнувшись рядка № 2, 3 і 4. Ми повинні отримати в першому стовпці під «провідним елементом нулі. Для досягнення такого результату: з елементів рядка № 2 віднімемо послідовно елементи рядка № 1, помножені на 2; з елементів рядка № 3 віднімемо послідовно елементи рядка № 1, помножені на 4; з елементів рядка № 4 віднімемо послідовно елементи рядка № 1.
- Далі будемо працювати з укороченою матрицею (без стовпця № 1 та без рядка № 1). Новий «ведучий» елемент, що стоїть на перетині другого стовпця і другий рядки, дорівнює -1. Переставляти рядки не потрібно, тому переписуємо без змін перший стовпець і першу і другу рядка. Виконаємо операції віднімання, щоб у другому стовпці під «провідним елементом отримати нулі: з елементів третього рядка віднімемо послідовно елементи другого рядка, помножені на 3; з елементів четвертої рядка віднімемо послідовно елементи другого рядка, помножені на 2.
- Залишилось змінити останній рядок. З її елементів віднімемо послідовно елементи третього рядка. Таким чином ми отримали ступеневу матрицю.
Приведення матриць до ступеневою використовується в розв’язуванні систем лінійних рівнянь (ВИПАДА) методом Гаусса. Перед розглядом цього методу давайте розберемося в термінах, що мають відношення до СЛУ.
