Стереометрія, як розділ геометрії в просторі, вивчає властивості призм, циліндрів, конусів, куль, пірамід і інших об’ємних фігур. Дана стаття присвячена детальному розгляду характеристик і властивостей правильної шестикутної піраміди.
Яка піраміда вивчатиметься
Правильна шестикутна піраміда являє собою фігуру в просторі, яка обмежена одним рівностороннім і рівнокутним шестикутником, і шістьма однаковими трикутниками равнобедренными. Ці трикутники можуть бути також рівносторонніми при певних умовах. Ця піраміда нижче показана.
Тут зображена одна і та ж фігура, тільки в одному випадку вона повернена бічною гранню до читача, а в іншому – бічним ребром.
Правильна шестикутна піраміда має 7 граней, які були названі вище. Також їй належать 7 вершин і 12 ребер. На відміну від призм, у всіх пірамід є одна особлива вершина, яка утворена перетинанням бічних трикутників. Для правильної піраміди вона відіграє важливу роль, оскільки опущений з неї на підставу фігури перпендикуляр є заввишки. Далі висоту будемо позначати буквою h.
Показана піраміда називається правильною по двох причинах:
- в її основі знаходиться шестикутник з однаковими довжинами сторін a і з однаковими кутами 120 o;
- висота піраміди h перетинає шестикутник точно в його центрі (точка перетину лежить на однаковій відстані від усіх боків і від усіх вершин шестикутника).
Площа поверхні
Властивості правильної шестикутної піраміди почнемо розглядати з визначення її площі. Для цього спочатку корисно привести розгортку фігури на площині. Схематичне її зображення показано нижче.
Видно, що площа розгортки, а значить, і всієї розглянутої поверхні фігури дорівнює сумі площ шести однакових трикутників і одного шестикутника.
Для визначення площі шестикутника S6 скористаємося універсальною формулою для правильного n-кутника:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n) =>
S6 = 3*√3/2*a2.
Де буквою a позначена довжина сторони шестикутника.
Площа трикутника S3 бічної сторони знайти можна, якщо знати величину його висоти hb:
S3 = 1/2*hb*a.
Оскільки всі шість трикутників рівні між собою, то отримуємо робоче вираз для визначення площі шестикутної піраміди з правильним підставою:
S = S6 + 6*S3 = 3*√3/2*a2 + 6*1/2*hb*a = 3*a*(√3/2*a + hb).
Об’єм піраміди
Так само, як і площа, об’єм правильної шестикутної піраміди є важливою її властивістю. Цей об’єм розраховується за загальною формулою для всіх пірамід і конусів. Запишемо її:
V = 1/3*So*h.
Тут символом So названа площа шестикутного підстави, тобто So = S6.
Підставляючи в формулу для V записане вище вираз для S6, приходимо до кінцевого рівності для визначення об’єму піраміди правильної шестикутної:
V = √3/2*a2 *h.
Приклад геометричної задачі
У шестикутної правильній піраміді бічне ребро вдвічі більше довжини сторони підстави. Знаючи, що останнє дорівнює 7 см, необхідно обчислити площу поверхні та об’єм даної фігури.
Як можна здогадатися, рішення цієї задачі припускає використання отриманих вище вирази для S і V. Тим не менш відразу скористатися ними не вийде, оскільки ми не знаємо апофему і висоту правильної шестикутної піраміди. Займемося їх обчисленням.
Апофему hb можна визначити, розглянувши прямокутний трикутник, побудований на сторонах b, a/2 і hb. Тут b – довжина бічного ребра. Використовуючи умову задачі, отримуємо:
hb = √(b2-a2/4) = √(142-72/4) = 13,555 див.
Висоту h піраміди можна визначити точно так само, як апофему, тільки тепер слід розглядати трикутник зі сторонами h, b і a, що знаходиться всередині піраміди. Висота буде дорівнює:
h = √(b2 – a2) = √(142 – 72) = 12,124 див.
Видно, що розраховане значення висоти менше такого для апофемы, що справедливо для будь-якої піраміди.
Тепер можна скористатися виразами для об’єму і площі:
S = 3*a*(√3/2*a + hb) = 3*7*(√3/2*7 + 13,555) = 411,96 см2;
V = √3/2*a2*h = √3/2*72*12,124 = 514,48 см3.
Таким чином, для однозначного визначення будь-якої характеристики правильної шестикутної піраміди необхідно знати два будь-яких її лінійних параметра.
