Як знаходити добуток матриць. Множення матриць. Скалярний добуток матриць. Твір трьох матриць

Множення трьох матриць: теоретична частина

Можна знайти добуток трьох матриць? Ця обчислювальна операція здійсненна. Результат можна отримати декількома способами. Наприклад, є 3 квадратних таблиці (одного порядку) – A, B і C. Щоб обчислити добуток, можна:

Якщо потрібно перемножити матриці прямокутного вигляду, то спочатку потрібно упевнитися в тому, що дана обчислювальна операція можлива. Повинні існувати твори A × B і B × C.

Поетапне множення не є помилкою. Є таке поняття, як «асоціативність множення матриць». Під цим терміном розуміється рівність (A × B) × C = A × B × C).

Множення трьох матриць: практика

Квадратні матриці

Почнемо з множення невеликих квадратних матриць. Нижче на малюнку представлена задача № 4, яку нам належить вирішити.

Будемо користуватися властивість асоціативності. Перемножимо спершу яких A і B, або B і C. Пам’ятаємо тільки одне: не можна переставляти місцями множники, тобто не можна множити B × A або C × B. При такому збільшенні ми отримаємо помилковий результат.

Хід рішення.

Крок перший. Для знаходження загального твори помножимо спочатку A B. При множенні двох матриць будемо керуватися тими правилами, які були викладені вище. Отже, результатом множення A і B буде матриця D з 2 рядками і 2 стовпцями, тобто прямокутний масив буде включати в себе 4 елементи. Знайдемо їх, виконавши розрахунок:

• d11 = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d12 = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d21 = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d22 = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Проміжний результат готовий.

Крок другий. Тепер помножимо матрицю D на матрицю C. Результатом повинна бути квадратна матриця G з 2 рядками і 2 стовпцями. Розрахуємо елементи:

• g11 = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g12 = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g21 = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g22 = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Таким чином, результатом добутку квадратних матриць є таблиця G з обчисленими елементами.

Прямокутні матриці

Нижче на малюнку представлена завдання № 5. Потрібно перемножити прямокутні матриці та знайти рішення.

Перевіримо, чи виконується умова існування творів A × B і B × C. Порядки зазначених матриць дозволяють нам виконувати множення. Приступимо до вирішення завдання.

Хід рішення.

Крок перший. Помножимо B C для отримання D. Матриця B містить 3 рядки і 4 стовпців, а матриця C – 4 рядки і 2 стовпця. Це означає, що матриця D у нас вийде з 3 рядками і 2 стовпцями. Розрахуємо елементи. Ось 2 приклади обчислень:

• d11 = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d12 = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Продовжуємо вирішувати завдання. В результаті подальших обчислень ми знаходимо значення d21, d22, d31 і d32. Ці елементи дорівнюють 0, 19, 1 і 11 відповідно. Запишемо знайдені значення в прямокутний масив.

Крок другий. Помножимо A D, щоб отримати підсумкову матрицю F. В ній буде 2 рядки та 2 стовпця. Розрахуємо елементи:

• f11 = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f12 = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f21 = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f22 = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Складемо прямокутний масив, який є кінцевим результатом множення трьох матриць.