З матрицями (таблицями з числовими елементами) можуть проводитися різні обчислювальні дії. Одні з них – множення на число, вектор, іншу матрицю, кілька матриць. Твір іноді виходить невірним. Помилковий результат – підсумок незнання правил виконання обчислювальних дій. Давайте розберемося, як слід здійснювати множення.
Матриця і число
Почнемо з самого простого – з таблиці множення з числами на конкретну величину. Наприклад, ми маємо матрицю A з елементами aij (i – це номер рядка, а j – це номери стовпців) і число e. Твором матриці на число e буде матриця B з елементами bij, які знаходяться за формулою:
bij = e × aij.
Тобто для отримання елемента b11 потрібно взяти елемент a11 і помножити його на потрібне число, для отримання b12 потрібно знайти добуток елемента a12 і числа e і т. д.
Вирішимо завдання № 1, представлену на малюнку. Для отримання матриці B просто помножимо елементи з A на 3:
Таким чином, ми отримали прямокутний масив з числовими елементами.
| 18 | -6 | 12 |
| 15 | 9 | -3 |
Вектори і умова існування твору матриць
В математичних дисциплінах існує таке поняття, як «вектор». Під цим терміном розуміється упорядкований набір величин a1 an. Вони називаються координатами векторного простору і записуються у вигляді стовпця. Ще є термін «транспонований вектор». Його компоненти розташовуються у вигляді рядка.
Вектори можна називати матрицями:
- вектор-стовпець – це матриця, побудована з одного стовпця;
- вектор-рядок – це матриця, яка включає в себе лише один рядок.
При виконанні операцій над матрицями множення важливо пам’ятати про те, що є умова існування твору. Обчислювальне дію A × B може бути виконано тільки тоді, коли число стовпців в таблиці A дорівнює числу рядків у таблиці B. Підсумкова матриця, отримана в результаті обчислення, завжди має число рядків таблиці A і число стовпців таблиці B.
При множенні не рекомендується переставляти місцями матриці (множники). Їх твір зазвичай не відповідає коммутативному (переместительному) закону множення, тобто результат операції A × B не дорівнює результату операції B × A. Така особливість іменується некоммутативностью твори матриць. У деяких випадках результат множення A × B дорівнює результату множення B × A, тобто твір коммутативно. Матриці, при яких рівність A × B = B × A виконується, називаються перестановочными. З прикладами таких таблиць можна ознайомитися нижче.
Множення на вектор-стовпець
При виконанні множення матриці на вектор-стовпець обов’язково враховуємо умова існування твору. Число стовпців (n) в таблиці має збігатися з кількістю координат, з яких складено вектор. Результат обчислення – перетворений вектор. Його кількість координат дорівнює числу рядків (m) з таблиці.
Як обчислюються координати вектора y, якщо є матриця A і вектор x? Для розрахунків створені формули:
y1 = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn,
y2 = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn,
…………………………………,
ym = am1x1 + am2x2 + … + amnxn,
де x1, …, xn – координати x-вектора, m – число рядків в матриці і кількість координат в новому y-вектор, n – число стовпців в матриці і кількість координат в x-вектор, a11, a12, …, amn – елементи матриці A.
Таким чином, для отримання i-ї компоненти нового вектора виконується скалярний добуток. З матриці A береться i-вектор-рядок, і вона множиться на наявний вектор x.
Вирішимо завдання № 2. Добуток матриці на вектор знайти можна, адже A має 3 стовпця, і x складається з 3 координат. У результаті ми повинні отримати вектор-стовпець 4 координатами. Скористаємося наведеними вище формулами:
Множення вектор-рядки матриці
Не можна помножити матрицю, що складається з декількох стовпців, на вектор-рядок. В таких випадках не виконується умова існування твору. А ось множення вектор-рядки матриці можливо. Ця обчислювальна операція виконується при збігу кількості координат у векторі і кількості рядків у таблиці. Результат добутку вектора на матрицю – нова вектор-рядок. Її кількість координат повинно дорівнювати числу стовпців в матриці.
Обчислення першої координати нового вектора передбачає множення вектор-рядка і першого вектор-стовпчика з таблиці. Аналогічним способом здійснюється розрахунок другої координати, але замість першого вектор-стовпця береться вже другий вектор-стовпець. Ось загальна формула для обчислення координат:
yk = a1kx1 + a2kx2 + … + amkxm,
де yk – координата з y-вектора, (k знаходиться в проміжку від 1 до n), m – число рядків в матриці і кількість координат в x-вектор, n – число стовпців в матриці і кількість координат в y-вектор, a з буквено-цифровими індексами – елементи матриці A.
Твір прямокутних матриць
Це обчислювальне дія може здатися складним. Однак множення легко виконується. Почнемо з визначення. Добуток матриці A з m рядків та n стовпців матриці B з n рядками і p стовпцями – це матриця C з m рядків та p стовпцями, в якій елемент cij являє собою суму добутків елементів i-го рядка з таблиці A і j-го стовпчика з таблиці B. Якщо говорити простою мовою, то елемент cij – це скалярний добуток i-й вектор-рядки з таблиці A і j-го вектор-стовпчика з таблиці B.
Тепер розберемося на практиці в тому, як знаходити добуток матриць прямокутного вигляду. Вирішимо для цього завдання № 3. Умова існування твору виконується. Приступимо до розрахунку елементів cij:
Елементи розраховані. Тепер залишилося лише скласти прямокутний блок з отриманих чисел.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Множення трьох матриць: теоретична частина
Можна знайти добуток трьох матриць? Ця обчислювальна операція здійсненна. Результат можна отримати декількома способами. Наприклад, є 3 квадратних таблиці (одного порядку) – A, B і C. Щоб обчислити добуток, можна:
Якщо потрібно перемножити матриці прямокутного вигляду, то спочатку потрібно упевнитися в тому, що дана обчислювальна операція можлива. Повинні існувати твори A × B і B × C.
Поетапне множення не є помилкою. Є таке поняття, як «асоціативність множення матриць». Під цим терміном розуміється рівність (A × B) × C = A × B × C).
Множення трьох матриць: практика
Квадратні матриці
Почнемо з множення невеликих квадратних матриць. Нижче на малюнку представлена задача № 4, яку нам належить вирішити.
Будемо користуватися властивість асоціативності. Перемножимо спершу яких A і B, або B і C. Пам’ятаємо тільки одне: не можна переставляти місцями множники, тобто не можна множити B × A або C × B. При такому збільшенні ми отримаємо помилковий результат.
Хід рішення.
Крок перший. Для знаходження загального твори помножимо спочатку A B. При множенні двох матриць будемо керуватися тими правилами, які були викладені вище. Отже, результатом множення A і B буде матриця D з 2 рядками і 2 стовпцями, тобто прямокутний масив буде включати в себе 4 елементи. Знайдемо їх, виконавши розрахунок:
- d11 = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
- d12 = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
- d21 = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
- d22 = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.
Проміжний результат готовий.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Крок другий. Тепер помножимо матрицю D на матрицю C. Результатом повинна бути квадратна матриця G з 2 рядками і 2 стовпцями. Розрахуємо елементи:
- g11 = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
- g12 = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
- g21 = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
- g22 = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.
Таким чином, результатом добутку квадратних матриць є таблиця G з обчисленими елементами.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Прямокутні матриці
Нижче на малюнку представлена завдання № 5. Потрібно перемножити прямокутні матриці та знайти рішення.
Перевіримо, чи виконується умова існування творів A × B і B × C. Порядки зазначених матриць дозволяють нам виконувати множення. Приступимо до вирішення завдання.
Хід рішення.
Крок перший. Помножимо B C для отримання D. Матриця B містить 3 рядки і 4 стовпців, а матриця C – 4 рядки і 2 стовпця. Це означає, що матриця D у нас вийде з 3 рядками і 2 стовпцями. Розрахуємо елементи. Ось 2 приклади обчислень:
- d11 = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
- d12 = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.
Продовжуємо вирішувати завдання. В результаті подальших обчислень ми знаходимо значення d21, d22, d31 і d32. Ці елементи дорівнюють 0, 19, 1 і 11 відповідно. Запишемо знайдені значення в прямокутний масив.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Крок другий. Помножимо A D, щоб отримати підсумкову матрицю F. В ній буде 2 рядки та 2 стовпця. Розрахуємо елементи:
- f11 = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
- f12 = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
- f21 = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
- f22 = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.
Складемо прямокутний масив, який є кінцевим результатом множення трьох матриць.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Знайомство з прямим добутком
Досить складним для розуміння матеріалом є кронекеровское добуток матриць. У нього є ще додаткову назву – пряме твір. Що ж розуміється під цим терміном? Припустимо, у нас є таблиця A порядку m × n і B таблиця порядку p × q. Прямим добутком матриці A на матрицю B є матриця порядку mp × nq.
У нас є 2 квадратні матриці A, B, які представлені на картинці. Перша з них складається з 2 колонок і 2 рядків, а друга – з 3 стовпців і 3 рядків. Ми бачимо, що матриця, отримана в результаті прямого твори, складається з 6 рядків і точно такої ж кількості стовпців.
Як при прямому творі обчислюють елементи нової матриці? Знайти відповідь на це питання дуже легко, якщо проаналізувати малюнок. Спочатку заповнюють рядок. Беруть перший елемент з верхнього рядка таблиці A і послідовно множать на елементи першого рядка таблиці B. Далі беруть другий елемент першого рядка таблиці A і послідовно множать на елементи першого рядка таблиці B. Для заповнення другого рядка знову беруть перший елемент першого рядка таблиці A і множать його на елементи другого рядка таблиці B.
Підсумкову матрицю, одержувану прямим твором, називають блоковою. Якщо знову проаналізувати малюнок, то можна помітити, що наш результат складається з 4 блоків. Всі вони включають елементи матриці B. Додатково елемент кожного блоку помножена на конкретний елемент матриці A. В першому блоці всі елементи помножені на a11, у другому – на a12, в третьому – на a21, у четвертому – на a22.
Визначник твори
При розгляді теми, що стосується множення матриць, варто розглянути ще такий термін, як «визначник добутку матриць». Що таке визначник? Це важлива характеристика квадратної матриці, певне значення, що ставиться у відповідність цій матриці. Літерне позначення визначника – det.
Для матриці A, що складається з двох стовпців і двох рядків, визначник легко знайти. Існує невелика формула, яка представляє собою різницю творів конкретних елементів:
det A = a11 × a22 – a12 × a21.
Розглянемо приклад обчислення визначника для таблиці другого порядку. Існує матриця A, в якій a11 = 2, a12 = 3, a21 = 5 і a22 = 1. Для обчислення визначника скористаємося формулою:
det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = -13.
У матриць 3 × 3 визначник обчислюється по більш складною формулою. Вона представлена нижче для матриці A:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33.
Для запам’ятовування формули придумали правило трикутника, яке показано на картинці. Спочатку множаться елементи головної діагоналі. До отриманого значення додаються твори тих елементів, на які вказують кути трикутників з червоними сторонами. Далі віднімається добуток елементів побічної діагоналі і віднімаються твори тих елементів, на які вказують кути трикутників з синіми сторонами.
Тепер поговоримо про визначнику твори матриць. Існує теорема, яка свідчить, що даний показник дорівнює добутку визначників таблиць-співмножників. Переконаємося в цьому на прикладі. У нас є матриця A з елементами a11 = 2, a12 = 3, a21 = 1 і a22 = 1 і матриця B з елементами b11 = 4, b12 = 5, b21 = 1 і b22 = 2. Знайдемо визначники матриць A і B, твір A × B і визначник цього твору.
Хід рішення.
Крок перший. Обчислимо визначник для A: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = -1. Далі обчислимо визначник для B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.
Крок другий. Знайдемо добуток A × B Нову матрицю позначимо літерою C. Обчислимо її елементи:
- c11 = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
- c12 = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
- c21 = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
- c22 = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.
Крок третій. Обчислимо визначник для C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = -3. Порівняємо зі значенням, яке могло б вийти при множенні визначників вихідних матриць. Числа однакові. Дана теорема вірна.
Ранг твору
Ранг матриці – це характеристика, що відбиває максимальну кількість лінійно незалежних рядків або стовпців. Для обчислення рангу виконують елементарні перетворення матриці:
- переставлення місцями двох паралельно лежачих рядів;
- множення всіх елементів певного ряду з таблиці на число, не равняющееся нулю;
- додаток до елементів одного ряду елементів з іншого ряду, помножених на конкретне число.
Після елементарних перетворень дивляться на кількість ненульових рядків. Їх число – це і є ранг матриці. Розглянемо попередній приклад. У ньому було представлено 2 матриці: A з елементами a11 = 2, a12 = 3, a21 = 1 і a22 = 1 і B з елементами b11 = 4, b12 = 5, b21 = 1 і b22 = 2. Також будемо використовувати матрицю C, отриману в результаті множення. Якщо ми виконаємо елементарні перетворення, то у спрощених матрицях нульових рядків не буде. Це означає, що і ранг таблиці A, і ранг таблиці B, і ранг таблиці C дорівнює 2.
Тепер особливу увагу приділимо рангом твори матриць. Існує теорема, яка свідчить, що ранг твору таблиць, що містять числові елементи, що не перевищує рангу будь-якого з співмножників. Це можна довести. Нехай A – це матриця розміру k × s, а B – це матриця розміру s × m. Твір A і B дорівнює C.
Вивчимо малюнок, представлений вище. На ньому зображений перший стовпець матриці C та його спрощена запис. Цей стовпець – лінійна комбінація стовпців, що входять у матрицю A. Аналогічним чином можна сказати про будь-якому іншому стовпці з прямокутного масиву C. Таким чином, підпростір, утвореного векторами-стовпцями таблиці C, мається на подпространстве, утвореному векторами-стовпцями таблиці A. З цієї причини розмірність підпростору № 1 не перевершує розмірності підпростору № 2. Звідси випливає висновок, що ранг за стовпцями таблиці C не перевищує рангу за стовпцями таблиці A, тобто r(C) ≤ r(A). Якщо міркувати аналогічним чином, то можна переконатися в тому, що рядки матриці C – лінійні комбінації рядків матриці B. З цього випливає нерівність r(C) ≤ r(B).
Як знаходити добуток матриць – досить складна тема. Її можна легко освоїти, але для досягнення такого результату доведеться приділити чимало часу вивченню всіх існуючих правил і теорем.
