Визначник твори
При розгляді теми, що стосується множення матриць, варто розглянути ще такий термін, як «визначник добутку матриць». Що таке визначник? Це важлива характеристика квадратної матриці, певне значення, що ставиться у відповідність цій матриці. Літерне позначення визначника – det.
Для матриці A, що складається з двох стовпців і двох рядків, визначник легко знайти. Існує невелика формула, яка представляє собою різницю творів конкретних елементів:
det A = a11 × a22 – a12 × a21.
Розглянемо приклад обчислення визначника для таблиці другого порядку. Існує матриця A, в якій a11 = 2, a12 = 3, a21 = 5 і a22 = 1. Для обчислення визначника скористаємося формулою:
det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = -13.
У матриць 3 × 3 визначник обчислюється по більш складною формулою. Вона представлена нижче для матриці A:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33.
Для запам’ятовування формули придумали правило трикутника, яке показано на картинці. Спочатку множаться елементи головної діагоналі. До отриманого значення додаються твори тих елементів, на які вказують кути трикутників з червоними сторонами. Далі віднімається добуток елементів побічної діагоналі і віднімаються твори тих елементів, на які вказують кути трикутників з синіми сторонами.
Тепер поговоримо про визначнику твори матриць. Існує теорема, яка свідчить, що даний показник дорівнює добутку визначників таблиць-співмножників. Переконаємося в цьому на прикладі. У нас є матриця A з елементами a11 = 2, a12 = 3, a21 = 1 і a22 = 1 і матриця B з елементами b11 = 4, b12 = 5, b21 = 1 і b22 = 2. Знайдемо визначники матриць A і B, твір A × B і визначник цього твору.
Хід рішення.
Крок перший. Обчислимо визначник для A: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = -1. Далі обчислимо визначник для B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.
Крок другий. Знайдемо добуток A × B Нову матрицю позначимо літерою C. Обчислимо її елементи:
- c11 = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
- c12 = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
- c21 = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
- c22 = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.
Крок третій. Обчислимо визначник для C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = -3. Порівняємо зі значенням, яке могло б вийти при множенні визначників вихідних матриць. Числа однакові. Дана теорема вірна.
