Ранг твору
Ранг матриці – це характеристика, що відбиває максимальну кількість лінійно незалежних рядків або стовпців. Для обчислення рангу виконують елементарні перетворення матриці:
- переставлення місцями двох паралельно лежачих рядів;
- множення всіх елементів певного ряду з таблиці на число, не равняющееся нулю;
- додаток до елементів одного ряду елементів з іншого ряду, помножених на конкретне число.
Після елементарних перетворень дивляться на кількість ненульових рядків. Їх число – це і є ранг матриці. Розглянемо попередній приклад. У ньому було представлено 2 матриці: A з елементами a11 = 2, a12 = 3, a21 = 1 і a22 = 1 і B з елементами b11 = 4, b12 = 5, b21 = 1 і b22 = 2. Також будемо використовувати матрицю C, отриману в результаті множення. Якщо ми виконаємо елементарні перетворення, то у спрощених матрицях нульових рядків не буде. Це означає, що і ранг таблиці A, і ранг таблиці B, і ранг таблиці C дорівнює 2.
Тепер особливу увагу приділимо рангом твори матриць. Існує теорема, яка свідчить, що ранг твору таблиць, що містять числові елементи, що не перевищує рангу будь-якого з співмножників. Це можна довести. Нехай A – це матриця розміру k × s, а B – це матриця розміру s × m. Твір A і B дорівнює C.
Вивчимо малюнок, представлений вище. На ньому зображений перший стовпець матриці C та його спрощена запис. Цей стовпець – лінійна комбінація стовпців, що входять у матрицю A. Аналогічним чином можна сказати про будь-якому іншому стовпці з прямокутного масиву C. Таким чином, підпростір, утвореного векторами-стовпцями таблиці C, мається на подпространстве, утвореному векторами-стовпцями таблиці A. З цієї причини розмірність підпростору № 1 не перевершує розмірності підпростору № 2. Звідси випливає висновок, що ранг за стовпцями таблиці C не перевищує рангу за стовпцями таблиці A, тобто r(C) ≤ r(A). Якщо міркувати аналогічним чином, то можна переконатися в тому, що рядки матриці C – лінійні комбінації рядків матриці B. З цього випливає нерівність r(C) ≤ r(B).
Як знаходити добуток матриць – досить складна тема. Її можна легко освоїти, але для досягнення такого результату доведеться приділити чимало часу вивченню всіх існуючих правил і теорем.
