Молекулярно-кінетична теорія дозволяє, аналізуючи мікроскопічне поведінку системи і використовуючи методи статистичної механіки, отримати важливі макроскопічні характеристики термодинамічної системи. Однією з мікроскопічних характеристик, яка пов’язана з температурою системи, є середня квадратична швидкість молекул газу. Формулу для неї наведемо й розглянемо у статті.
Ідеальний Газ
Відразу зазначимо, що формула середньої квадратичної швидкості молекул газу буде приведена саме для ідеального газу. Під ним у фізиці вважають таку многочастичную систему, в якій частинки (атоми, молекули) не взаємодіють один з одним (їх кінетична енергія на кілька порядків перевищує потенційну енергію взаємодії) і не мають розмірів, тобто є точками з кінцевою масою (відстань між частинками на кілька порядків перевищує їх лінійні розміри).
Будь газ, який складається з хімічно нейтральних молекул або атомів, і що знаходиться під невеликим тиском і має високу температуру, може вважатися ідеальним. Наприклад, повітря – це ідеальний газ, а водяна пара таким вже не є (між молекулами води діють сильні водневі зв’язки).
Теорія молекулярно-кінетична (МКТ)
Вивчаючи ідеальний газ в рамках МКТ, слід звернути увагу на два важливі процеси:
Незважаючи на те, що індивідуальні швидкості газових частинок сильно відрізняються один від одного, середнє значення цієї величини зберігається постійним у часі, якщо відсутні зовнішні впливи на систему. Формулу середньої квадратичної швидкості молекул газу можна отримати, якщо розглянути зв’язок між кінетичною енергією і температурою. Займемося цим питанням в наступному пункті статті.
Висновок формули середньої квадратичної швидкості молекул ідеального газу
Кожен школяр знає з загального курсу фізики, що кінетична енергія поступального руху тіла масою m розраховується так:
Ek = m*v2/2
Де v – лінійна швидкість. З іншого боку, кінетичну енергію частинки також можна визначити через абсолютну температуру T, використовуючи переказний множник kB (постійна Больцмана). Оскільки наш простір є тривимірним, то Ek розраховується так:
Ek = 3/2*kB*T.
Прирівнюючи обидва рівності і висловлюючи з них v, отримаємо формулу середньої квадратичної швидкості ідеального газу:
m*v2/2 = 3/2*kB*T =>
v = √(3*kB*T/m).
У цій формулі m – є масою газової частинки. Її значення незручно використовувати в практичних розрахунках, оскільки воно невелике (≈ 10-27 кг). Щоб уникнути цього незручність згадаємо про універсальної газової сталої R і молярної маси M. Постійна R з kB пов’язана рівнянням:
kB = R/NA.
Величина M визначається так:
M = m*NA.
Беручи до уваги обидва рівності, отримуємо наступний вираз для середньої квадратичної швидкості молекул:
v = √(3*R*T/M).
Таким чином, середня квадратична швидкість газових частинок виявляється прямо пропорційна квадратному кореню з абсолютної температури і обернено пропорційна кореню квадратному з молярної маси.
Приклад розв’язання задачі
Кожен знає, що повітря, яким ми дихаємо, на 99% складається з азоту і кисню. Необхідно визначити різниці в середніх швидкостях молекул N2 та O2 при температурі 15 oC.
Це завдання буде вирішувати послідовно. Спочатку переведемо температуру в абсолютні одиниці, маємо:
T = 273,15 + 15 = 288,15 К.
Тепер випишемо молярні маси для кожної розглянутої молекули:
MN2 = 0,028 кг/моль;
MO2 = 0,032 кг/моль.
Оскільки значення молярних мас відрізняються між собою незначно, то їх середні швидкості при однаковій температурі теж повинні бути близькі. Користуючись формулою для v, отримуємо наступні значення для молекул азоту і кисню:
v (N2) = √(3*8,314*288,15/0,028) = 506,6 м/с;
v (O2) = √(3*8,314*288,15/0,032) = 473,9 м/с.
Оскільки молекули азоту трохи легше, ніж молекули кисню, то вони рухаються швидше. Різниця середніх швидкостей становить:
v (N2) – v (O2) = 506,6 – 473,9 = 32,7 м/с.
Отримане значення становить всього 6,5 % від середньої швидкості молекул азоту. Звертаємо увагу на великі значення швидкостей молекул в газах навіть при невисоких температурах.
