Загальне рівняння прямої на площині
Кожен школяр без будь-яких труднощів зможе записати його. Але найчастіше рівняння записується так:
y = k*x + b.
Де k і b – довільні числа. Число b називають вільним членом. Параметр k дорівнює тангенсу кута, утвореного перетином прямої з віссю абсцис.
Наведене рівняння виражено відносно змінної y. Якщо ж його представити в більш загальному вигляді, тоді отримаємо наступну форму запису:
A*x + B*y + C = 0.
Неважко показати, що ця форма запису загального рівняння прямої на площині легко перетворюється на попередній вид. Для цього ліву і праву частини слід розділити на коефіцієнт B і висловити y.
Вище на малюнку показана пряма, що проходить через дві точки.
Пряма в тривимірному просторі
Продовжимо наше вивчення. Ми розглянули питання, як задається на площині рівняння прямої в загальній формі. Якщо ми наведену в попередньому пункті статті форму запису застосуємо для просторового випадку, що у нас вийде? Все просто – вже не пряма, а площину. Дійсно, цей вираз описує площину, яка паралельна осі z:
A*x + B*y + C = 0.
Якщо C=0, то така площина проходить через вісь z. Це важлива особливість.
Як же бути тоді з загальним рівнянням прямої в просторі? Щоб зрозуміти, як його поставити, треба дещо пригадати. Дві площини перетинаються по певній прямій лінії. Що це означає? Лише те, що загальним рівнянням є результат розв’язання системи двох рівнянь для площин. Запишемо цю систему:
- A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0;
- A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.
Ця система є загальним рівнянням прямої в просторі. Зауважимо, що площині не повинні бути паралельні один одному, тобто їхні нормальні вектори повинні бути нахилені під деяким кутом відносно один одного. В іншому випадку система не буде мати рішень.
Вище ми наводили векторну форму запису рівняння для прямої лінії. Її зручно використовувати при вирішенні даної системи. Для цього спочатку слід знайти векторний добуток нормалей даних площин. Результатом цієї операції буде напрямний вектор прямої. Потім, слід обчислити будь-яку точку, що належить прямій. Для цього потрібно покласти будь-яку зі змінних дорівнює значенню, дві змінні знайдуться шляхом вирішення наведеної системи.
