Завдання
Необхідно скласти загальне рівняння прямої, яка перетинає вісь x у точці (-3, 0), і яка паралельна осі y.
Почнемо рішення завдання з написання рівняння у векторній формі. Оскільки пряма паралельна осі ординат, то напрямних для неї вектором буде наступний:
u = (0, 1).
Тоді шукана пряма запишеться таким рівнянням:
(x, y) = (-3, 0) + λ*(0, 1).
Тепер переведемо це вираження в загальну форму, для цього виразимо параметр λ:
- x = -3;
- y = λ.
Таким чином, будь-яке значення змінної y належить прямій, однак, тільки єдине значення змінної x їй відповідає. Тому загальне рівняння прийме форму:
x + 3 = 0.
Завдання з прямої в просторі
Відомо, що дві пересічні площини задані наступними рівняннями:
- 2*x + y – z = 0;
- x – 2*y + 3 = 0.
Необхідно знайти векторне рівняння прямої, по якій ці площини перетинаються. Приступимо.
Як було сказано, загальне рівняння прямої у тривимірному просторі у нас вже задано у вигляді системи з двох з трьома невідомими. В першу чергу визначимо направляючий вектор, по якій площині перетинаються. Множачи векторно координати нормалі до площин, отримуємо:
u = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).
Оскільки множення вектора на від’ємне число змінює його напрям на протилежний, то можна записати:
u = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).
Щоб знайти векторне рівняння прямої, крім направляючого вектора слід знати яку-небудь точку цієї прямої. Знайти оскільки її координати повинні задовольняти системі рівнянь в умові задачі, то знайдемо їх. Покладемо для прикладу x = 0, тоді одержимо:
y = z;
y = 3/2 = 1,5.
Таким чином, належить шуканої прямої точка має координати:
P = (0, 1,5, 1,5).
Тоді отримуємо відповідь на дану задачу, векторне рівняння шуканої прямої буде мати вигляд:
(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + λ*(2, 1, 5).
Правильність рішення можна легко перевірити. Для цього необхідно вибрати довільне значення параметра λ і підставити отримані координати точки прямої в обидва рівняння для площин, вийде тотожність в обох випадках.
