Обчислення кутів між прямими і площинами
Тепер перейдемо безпосередньо до теми статті. Будь-яке перетин прямої і площини відбувається під деяким кутом. Цей кут утворений самої прямою і її проекцією на площину. Проекцію можна отримати, якщо з будь-якої точки прямої опустити на площину перпендикуляр, а потім через отриману точку перетину площини і перпендикуляра і точку перетину площини і прямої вихідної провести пряму, яка буде проекцією.
Обчислення кутів між прямими і площинами не являє собою складне завдання. Для її вирішення достатньо знати рівняння відповідних геометричних об’єктів. Припустимо, ці рівняння виглядають наступним чином:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ*(a, b, c);
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Шуканий кут легко знаходиться, якщо скористатися властивістю твір скалярного векторів u і n. Кінцева формула виглядає так:
θ = arcsin(|(u*n)|/(|u|*|n|)).
Ця формула говорить про те, що синус кута між прямою і площиною дорівнює відношенню модуля скалярного твори зазначених векторів до добутку їх довжин. Щоб зрозуміти, чому замість косинуса з’явився синус, звернемося до малюнку нижче.
Видно, що якщо ми застосуємо функцію косинуса, то ми отримаємо кут між векторами u і n. Шуканий кут θ (α на малюнку) виходить так:
θ = 90 o – β.
Синус з’являється в результаті застосування формул зведення.
