Приклад завдання
Перейдемо до практичного використання отриманих знань. Вирішимо типову задачу на кут між прямою і площиною. Задані наступні координати чотирьох точок:
P = (1, -1, 0);
Q = (-1, 2, 2);
M = (0, 3, -1);
N = (-2, -1, 1).
Відомо, що через точки PQM проходить площина, а через MN – пряма. Використовуючи координатний метод, кут між площиною і прямою необхідно розрахувати.
Для початку запишемо рівняння прямої та площини. Для прямої його скласти нескладно:
MN = (-2, -4, 2) =>
(x, y, z) = (0, 3, -1) + λ*(-2, -4, 2).
Щоб скласти рівняння площини, знайдемо спочатку нормаль до неї. Її координати дорівнюють векторному добутку двох векторів, що лежать у цій площині. Маємо:
PQ = (-2, 3, 2);
QM = (1, 1, -3) =>
n = [PQ*QM] = (-11, -4, -5).
Тепер у загальне рівняння площини підставимо координати будь-якої лежить в ній точки, щоб отримати значення вільного члена D:
P = (1, -1, 0);
– (A*x + B*y + C*z) = D =>
D = – (-11 + 4 + 0) = 7.
Рівняння площини має вигляд:
11*x + 4*y + 5*z – 7 = 0.
Залишилося застосувати формулу для кута, що утворюється при перетині прямої і площини, щоб отримати відповідь на завдання. Маємо:
(u*n) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;
|u| = √24; |n| = √162;
θ = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68 o.
На прикладі цієї задачі ми показали, як використовувати координатний метод для розв’язання геометричних задач.
