Обчислення кута між прямою і площиною. Координатний метод розв’язування задач

Одними з найпоширеніших у стереометрії є задачі на перетин прямих ліній і площин і на обчислення кутів між ними. Розглянемо в даній статті докладніше так званий координатний метод і кути між прямою і площиною.

Пряма і площина в геометрії

Перш ніж розглядати координатний метод і кут між прямою і площиною, слід познайомитися з названими геометричними об’єктами.

Прямою називається така сукупність точок у просторі або на площині, кожна з яких може бути отримана лінійним перенесенням попередньої на певний вектор. Далі будемо позначати цей вектор символом u. Якщо цей вектор помножити на будь-яке число, яке не дорівнює нулю, то ми отримаємо паралельний u вектор. Пряма – це лінійний нескінченний об’єкт.

Площина – це сукупність точок, які розташовані таким чином, що якщо з них складати довільні вектора, то вони всі будуть перпендикулярні деякого вектора n. Останній називають нормальним або просто нормаллю. Площина, на відміну від прямої, є двовимірним нескінченним об’єктом.

Координатний метод розв’язування задач з геометрії

Виходячи з назви самого методу, можна зробити висновок, що мова йде про спосіб розв’язання задач, який базується на виконанні аналітичних послідовних розрахунків. Іншими словами, координатний метод дозволяє розв’язувати геометричні задачі з використанням універсальних інструментів алгебри, головним з яких є рівняння.

Слід зазначити, що розглянутий метод з’явився на зорі зародження сучасних геометрії і алгебри. Великий внесок у її розвиток внесли Рене Декарт, П’єр Ферма, Ісаак Ньютон і Лейбніц у XVII-XVIII століття.

Суть методу полягає в проведенні обчислень відстаней, кутів, площ і об’ємів геометричних елементів, ґрунтуючись на відомих координатах точок. Зауважимо, що форма отриманих підсумкових рівнянь залежить від системи координат. Найчастіше в задачах застосовують прямокутну декартову систему, оскільки з нею найзручніше працювати.

Дивіться також:  Що таке явища? Самі красиві і страшні природні явища

Рівняння прямої

Розгляд координатного методу і кутів між прямою і площиною почнемо з завдання рівняння прямої. Існує кілька способів подання в алгебраїчній формі прямих. Тут розглянемо тільки векторне рівняння, оскільки з нього можна легко отримати будь-яку іншу форму і з ним легко працювати.

Припустимо, що є дві точки: P і Q. Відомо, що через них можна провести пряму, причому вона буде єдиною. Відповідне математичне представлення елемента виглядає так:

(x, y, z) = P + λ*PQ.

Де PQ – це вектор, координати якого отримують наступним чином:

PQ = Q – P.

Символом λ позначений параметр, який може приймати абсолютно будь-яке число.

У записаному виразі можна змінювати напрямок вектора, а також замість точки P підставити координати Q. Всі ці перетворення не призведуть до зміни геометричного розташування прямої.

Зазначимо, що при вирішенні завдань іноді потрібно представляти в явному (параметричному вигляді записане векторне рівняння.

Завдання площини у просторі

Так само як і для прямій, існує для площини теж кілька форм математичних рівнянь. Серед них відзначимо векторне рівняння у відрізках і загального виду. У цій статті приділимо особливу увагу саме останньої формі.

Рівняння загального вигляду для довільної площини може бути записано таким чином:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Латинські великі літери – це певні числа, що задають площину.

Зручність цієї форми запису полягає в тому, що в ній в явному вигляді міститься нормальний до площині вектор. Він дорівнює:

n = (A, B, C).

Знання цього вектора дозволяє, побіжно глянувши на рівняння площини, уявити розташування останньої в координатній системі.

Взаємне розташування у просторі, прямої та площини

У наступному пункті статті ми перейдемо до розгляду координатного методу і кута між прямою і площиною. Тут же відповімо на питання, яким чином у просторі можуть розташовуватися розглядаються геометричні елементи. Існує три таких способи:

Дивіться також:  Явище надпровідності: класифікація, властивості і застосування
  • Пряма перетинає площину. Застосовуючи координатний метод можна обчислити, в якій єдиній точці перетинаються пряма і площина.
  • Площина паралельна прямій. У цьому випадку система рівнянь геометричних елементів не має рішення. Для доведення паралельності зазвичай використовують властивість скалярного добутку направляючого вектора прямої і нормалі площини.
  • Площина містить пряму. Вирішуючи систему рівнянь у цьому випадку, ми прийдемо до висновку, що при будь-якому значенні параметра λ виходить вірне рівність.
  • У другому і третьому випадках кут між зазначеними геометричними об’єктами дорівнює нулю. У першому ж випадку він лежить в межах від 0 до 90 o.

    Обчислення кутів між прямими і площинами

    Тепер перейдемо безпосередньо до теми статті. Будь-яке перетин прямої і площини відбувається під деяким кутом. Цей кут утворений самої прямою і її проекцією на площину. Проекцію можна отримати, якщо з будь-якої точки прямої опустити на площину перпендикуляр, а потім через отриману точку перетину площини і перпендикуляра і точку перетину площини і прямої вихідної провести пряму, яка буде проекцією.

    Обчислення кутів між прямими і площинами не являє собою складне завдання. Для її вирішення достатньо знати рівняння відповідних геометричних об’єктів. Припустимо, ці рівняння виглядають наступним чином:

    (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ*(a, b, c);

    A*x + B*y + C*z + D = 0.

    Шуканий кут легко знаходиться, якщо скористатися властивістю твір скалярного векторів u і n. Кінцева формула виглядає так:

    θ = arcsin(|(u*n)|/(|u|*|n|)).

    Ця формула говорить про те, що синус кута між прямою і площиною дорівнює відношенню модуля скалярного твори зазначених векторів до добутку їх довжин. Щоб зрозуміти, чому замість косинуса з’явився синус, звернемося до малюнку нижче.

    Видно, що якщо ми застосуємо функцію косинуса, то ми отримаємо кут між векторами u і n. Шуканий кут θ (α на малюнку) виходить так:

    θ = 90 o – β.

    Синус з’являється в результаті застосування формул зведення.

    Дивіться також:  Вгадайте, без чого ніколи не буває нічого?

    Приклад завдання

    Перейдемо до практичного використання отриманих знань. Вирішимо типову задачу на кут між прямою і площиною. Задані наступні координати чотирьох точок:

    P = (1, -1, 0);

    Q = (-1, 2, 2);

    M = (0, 3, -1);

    N = (-2, -1, 1).

    Відомо, що через точки PQM проходить площина, а через MN – пряма. Використовуючи координатний метод, кут між площиною і прямою необхідно розрахувати.

    Для початку запишемо рівняння прямої та площини. Для прямої його скласти нескладно:

    MN = (-2, -4, 2) =>

    (x, y, z) = (0, 3, -1) + λ*(-2, -4, 2).

    Щоб скласти рівняння площини, знайдемо спочатку нормаль до неї. Її координати дорівнюють векторному добутку двох векторів, що лежать у цій площині. Маємо:

    PQ = (-2, 3, 2);

    QM = (1, 1, -3) =>

    n = [PQ*QM] = (-11, -4, -5).

    Тепер у загальне рівняння площини підставимо координати будь-якої лежить в ній точки, щоб отримати значення вільного члена D:

    P = (1, -1, 0);

    – (A*x + B*y + C*z) = D =>

    D = – (-11 + 4 + 0) = 7.

    Рівняння площини має вигляд:

    11*x + 4*y + 5*z – 7 = 0.

    Залишилося застосувати формулу для кута, що утворюється при перетині прямої і площини, щоб отримати відповідь на завдання. Маємо:

    (u*n) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

    |u| = √24; |n| = √162;

    θ = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68 o.

    На прикладі цієї задачі ми показали, як використовувати координатний метод для розв’язання геометричних задач.