Парадокс теорії суспільного вибору вперше описаний маркізом Кондорсе в 1785 році, яка в 50-х роках минулого століття була вдало узагальнена американським вченим економістом К. Arrow. Теорема Ерроу відповідає на дуже просте питання в теорії колективного прийняття рішень. Скажімо, є кілька варіантів для вибору в питаннях політики, публічних проектів або розподілу доходів і є люди, чиї переваги визначають цей вибір.
Питання полягає в тому, які існують процедури для якісного визначення вибору. І як дізнатися про вподобання, про колективному або соціальному впорядкування альтернатив, від кращих до гірших. Відповідь Arrow на це питання багатьох здивував.
Теорема Ерроу кажуть, що таких процедур взагалі немає – в будь-якому випадку вони не відповідають визначеним і цілком розумним уподобаннями людей. Технічна структура, в якій Ерроу дав ясний сенс проблеми соціального замовлення, і його суворий відповідь в даний час широко використовуються для вивчення проблем в соціальній економіці. Сама теорема лягла в основу сучасної теорії суспільного вибору.
Теорія суспільного вибору
Теорема Ерроу показує, що якщо у виборців є хоча б три альтернативи, то не існує виборчої системи, яка могла б трансформувати вибір окремих людей у суспільну думку.
Шокуючу заяву виходила від економіста і нобелівського лауреата Кеннета Джозеф Ерроу, який продемонстрував цей парадокс в докторській дисертації і популяризував його в книзі «Соціальний вибір і індивідуальні цінності», виданої в 1951 році. Оригінальна стаття має назву «Труднощі в концепції соціального забезпечення».
Теорема Ерроу говориться, що неможливо розробити виборчу систему з порядком, яка завжди відповідала б справедливим критеріям:
Системи державного соціального управління
Хоча американський економіст Кеннет Ерроу отримав Нобелівську премію по економіці, робота принесла більше користі для розвитку соціальних наук, оскільки теорема Про неможливість» Ерроу поклала початок абсолютно новому напрямку економіки – соціального вибору. Ця галузь намагається математично проаналізувати прийняття спільних рішень, зокрема в області систем державного соціального управління.
Вибір – це демократія в дії. Люди йдуть на вибори і висловлюють свої уподобання, і в підсумку, переваги багатьох людей повинні об’єднатися, щоб прийняти спільне рішення. Ось чому вибір методу голосування дуже важливий. Але чи є ідеальне голосування в дійсності? Згідно з результатами теорії Ерроу, отриманими в 1950 році, відповідь негативна. Якщо під «ідеальним» мається на увазі такий метод голосування, який відповідає критеріям, визначених розумних методів голосування.
Кращим методом голосування є ранжування, коли виборці оцінюють всіх кандидатів у відповідності з уподобаннями, і на основі цих оцінок виходить результат: ще один список всіх кандидатів, які мають бути представлені загальною волею людей. За теоремою «Про неможливість» Ерроу можна вказати розумний спосіб голосування:
За умовами теореми Ерроу виходить, що в разі виборів з трьома і більше критеріями, не існує функцій соціального вибору, які б одночасно підходили б для ND, PE і IIA.
Раціональна система вибору
Необхідність агрегування уподобань проявляється в багатьох сферах життєдіяльності людей:
За умовами теореми Ерроу розрізняють порядок переваг для даного набору параметрів (результатів). Кожна одиниця в суспільстві або кожен критерій прийняття рішення, присвоює певний порядок уподобань щодо набору результатів. Суспільство шукає систему голосування на основі рейтингу, звану функцією соціального забезпечення.
Це правило агрегування переваг перетворює набір профілю переваг в один глобальний публічний порядок. Затвердження Ерроу свідчить, що, якщо у керівному органі є, принаймні, два виборця і три критерії вибору, неможливо створити функцію соціального забезпечення, яка буде задовольняти всім цим умовам відразу.
Для кожного набору індивідуальних уподобань виборців функція соціального забезпечення повинна виконувати унікальний і всеосяжний рейтинг громадського відбору:
Незалежність від нерелевантних альтернатив (IIA)
Вибір між X і Y пов’язаний виключно з переваг індивіда між X і Y – це незалежність у парах (попарная незалежність), відповідно до теореми Ерроу «Про неможливість демократії». При цьому зміна оцінки людини нерелевантних альтернатив, розташованих поза таких груп, не чинить впливу на соціальну оцінку цієї підмножини. Наприклад, уявлення третього кандидата на виборах з двома кандидатами не впливає на результат виборів, якщо тільки третій кандидат не переможе.
Суспільству притаманне одноманітність і позитивне поєднання соціальних та індивідуальних цінностей. Якщо людина змінює свій порядок уподобань, просуваючи певний варіант, то порядок уподобань суспільства повинен відповідати тому ж варіанту без зміни. Чоловік не повинен бути в змозі нашкодити опціоном, оцінюючи його вище.
В теоремі «Про неможливість» ефективність і справедливість у суспільстві забезпечуються через суверенітет громадянина. Кожен можливий суспільний порядок уподобань повинен бути досягнутий за допомогою деякого набору індивідуальних порядків переваг. Це означає, що функція соціального забезпечення сюръективна – у неї необмежену цільове простір. Більш пізня (1963 рік) версія теореми Ерроу замінила критерії монотонності і відсутності накладення.
Парето. Ефективність чи єдність?
Якщо кожна людина віддає перевагу певний варіант іншому, то порядок соціальних переваг також повинен це робити. Необхідно, щоб функція соціального забезпечення була мінімально чутливою до профілю переваг. Ця пізня версія є більш загальною і має кілька слабкі умови. Аксіоми одноманітність, відсутність перекриття разом з IIA , позначають ефективність Парето. У той же час вона не передбачає накладення IIA і не передбачає монотонність.
IIA має три цілі:
Ефективність за Парето, названа на честь італійського економіста і політолога Вільфредо Парето (1848-1923 рр..), використовується в неокласичній економіці поряд з теоретичною концепцією досконалої конкуренції як орієнтир для оцінки ефективності реальних ринків. Потрібно відзначити, що ні один із результатів не досягається за межами економічної теорії. Гіпотетично, якби існувала досконала конкуренція і ресурси використовувалися з максимальною ефективністю, то у кожного був би найвищий рівень життя, або ефективність за Парето.
На практиці неможливо зробити які-небудь соціальні дії, такі як зміна економічної політики, без погіршення становища хоча б однієї людини, тому концепція поліпшення за Парето знайшла широке застосування в економіці. Поліпшення за Парето відбувається, коли зміна у розподілі нікому не шкодить і допомагає, принаймні, одній людині, враховуючи початковий розподіл товарів для групи осіб. Теорія припускає, що поліпшення за Парето будуть продовжувати збільшувати цінність для економіки до тих пір, поки не буде досягнута рівновага за Парето, коли більше ніяких поліпшень не може бути зроблено.
Формальний виклад теореми
Нехай A буде набором результатів, N кількістю виборців або критеріїв прийняття рішення. Позначають безліч всіх повних лінійних впорядкувань з А L (A). Сувора функція соціального забезпечення (правило агрегації переваг) є функцією яка агрегує уподобання виборців у разовому порядку переваги на A.
N – кортеж (R 1, …, R N) ∈ L (A) N уподобань виборців називається профілем переваг. У своїй найсильнішою і простій формі теорема Ерроу про неможливість свідчить, що всякий раз, коли безліч можливих альтернатив A має 2 елементів, наступні три умови стають несумісними:
Інтерпретація теореми
Хоча теорема Про неможливість» доведена математично, її часто висловлюють нематематическим способом з допомогою такого твердження, що жоден з методів голосування не є справедливим, кожен ранжируваний метод голосування має недоліки, або єдиний метод голосування, який не є помилковим, – це диктатура. Ці твердження є спрощенням результату Ерроу, який не завжди вважається вірним. Теорема Ерроу стверджує, що детермінований механізм переважного голосування, тобто той, в якому порядок уподобань є єдиною інформацією при голосуванні, а будь-який можливий набір голосів дає унікальний результат, не може відповідати одночасно всім умовам, зазначеним вище.
Різні теоретики пропонували послабити критерій IIA як вихід з парадоксу. Прихильники рейтингових методів голосування стверджують, що IIA є невиправдано сильним критерієм, який порушено у більшості корисних виборчих систем. Прихильники цієї позиції вказують на те, що недотримання стандартного критерію IIA тривіально мається на увазі можливістю циклічних переваг. Якщо виборці голосують наступним чином:
- 1 голос за A> B> C;
- 1 голос за B> C> A;
- 1 голос за C> A> B.
Тоді перевагу групи в парному більшості полягає в тому, що A виграє у B, B виграє у C а C виграє у A і це дає перевагу «ножиці-рок-ножиці» для будь-якого парного порівняння.
У цьому випадку будь правило агрегації, які задовольняє основним мажоритарному вимогу про те, що кандидат, який отримав більшість голосів, має перемогти на виборах, не буде відповідати критерію IIA, якщо соціальні переваги повинні бути транзитивными або ациклічні. Щоб побачити це, припускають, що таке правило задовольняє IIA. Оскільки уподобання більшості дотримуються, суспільство віддає перевагу A – B (два голоси за A> B і B> A), B – C, C – A. Таким чином, створюється цикл, який суперечить припущенню про те, що соціальні переваги транзитивны.
Отже, теорема Ерроу дійсно показує, що будь-яка виборча система з більшістю перемог – нетривіальна гра, і що теорія ігор повинна використовуватися для прогнозування результатів більшості механізмів голосування. Це може розглядатися як несприятливий результат, тому що гра не повинна мати ефективних рівноваг, наприклад, голосування може призвести до альтернативи, яку ніхто насправді не хотів, але за неї проголосували всі.
Соціальний вибір замість переваг
Раціональний колективний вибір механізму голосування теорема Ерроу не є метою прийняття соціальних рішень. Часто достатньо знайти якусь альтернативу. Підхід, орієнтований на виборі альтернативи, досліджує функції соціального вибору, які відображають кожний профіль переваг, або правила соціального вибору – функції, які відображають кожний профіль переваг підмножину альтернатив.
Що стосується функцій соціального вибору, то добре відома теорема Гиббарда-Саттертвейта, яка говорить, що якщо функція соціального вибору, діапазон якої містить хоча б три альтернативи, є стратегічно стійкою, то вона є диктаторською. Розглядаючи правила соціального вибору, вважають, що за ними стоять соціальні переваги.
Тобто розглядають правило, як вибір максимальних елементів – кращих альтернатив якого-небудь соціального уподобання. Безліч максимальних елементів соціального уподобання називається ядром. Умови існування альтернативи у ядрі досліджувалися у двох підходах. Перший підхід передбачає, що переваги, щонайменше, ациклічні, що необхідно і достатньо для того, щоб уподобання мали максимальний елемент в будь-якому кінцевому домені.
З цієї причини це тісно пов’язано з розслаблюючій транзитивностью. Другий підхід відкидає припущення про ациклічних уподобання. Кумабе та Міхара прийняли цей підхід. Вони зробили більш послідовне припущення, що індивідуальні переваги мають максимальне значення.
Відносне неприйняття ризику
Існує кілька показників неприйняття ризику, виражених функцією корисності теореми Ерроу Пратта. Абсолютне неприйняття ризику – чим вище кривизна u (c), тим вище неприйняття ризику. Однак, оскільки очікувані функції корисності не визначені однозначно, необхідна міра, залишається постійною по відношенню до цих перетворень. Одна з таких заходів є Ерроу-Pratt міра абсолютного неприйняття ризику (ARA), після того як економісти Кеннет Ерроу і Джон У. Pratt визначили коефіцієнт абсолютного неприйняття ризику, як
A (c) = – {u ” (c)}/ {u ‘(c)},
де: u ‘(c) і u ” (c) позначають першу і другу похідні по відношенню до “с” із “u (c)”.
Експериментальні та емпіричні дані в основному відповідають зниження абсолютного неприйняття ризику. Міра відносного неприйняття ризику Ерроу Пратта (АСР) або коефіцієнта відносного неприйняття ризику визначається:
R (c) = cA (c) = {-cu ” (c)} /{u ‘(c) R (c).
Як і у випадку абсолютного неприйняття ризику, використовуються відповідні терміни постійне відносне неприйняття ризику (CRRA) і зменшення / збільшення відносного неприйняття ризику (DRRA / IRRA). Перевага цієї величини полягає в тому, що вона все ще є дійсною мірою неприйняття ризику, навіть якщо функція корисності змінюється від схильності до ризику, тобто корисність не є строго опуклою / увігнутою по всіх «c». Постійний RRA передбачає зменшення ARA теорії Ерроу Пратта, але зворотне не завжди вірно. В якості конкретного прикладу неприйняття постійного відносного ризику, функція корисності: u (c) = log (c), передбачає RRA = 1.
Лівий графік: функція корисності, що запобігає ризик, є увігнутою знизу, а функція корисності, схильна до ризику, є опуклою. Середній графік – у просторі очікуваних значень стандартного відхилення, криві байдужості до ризику мають нахил вгору. Правий графік – з фіксованими ймовірностями двох альтернативних станів 1 і 2 криві байдужості, не схильні до ризику, по парам результатів, які залежать від стану, є опуклими.
Номінальна виборча система
Спочатку Ерроу відкинув кардинальну корисність, як важливий інструмент вираження соціального благополуччя, тому він сконцентрував свої вимоги на ранжируванні переваг, але згодом прийшов до висновку, що кардинальна рейтингова система з трьома або чотирма класами є ймовірно, кращою. Суспільний вибір за теоремою «Про неможливість» передбачає, що індивідуальні та соціальні переваги є впорядкованими, тобто задоволеність повнотою і транзитивностью в різних альтернативах. Це означає, що, якщо переваги представлені функцією корисності, її значення корисно в тому сенсі, що воно має сенс, оскільки більш високе значення означає кращу альтернативу.
Практичні додатки теореми використовується для оцінки широких категорій систем голосування. Головний аргумент Ерроу стверджує, що системи голосування по порядку повинні завжди порушувати, принаймні, один з критеріїв справедливості, які він виклав. Практичним наслідком цього є те, що системи голосування, які не приведені в порядок, повинні бути вивчені. Наприклад, рейтингові системи голосування, де виборці дають кожному кандидату бали можуть відповідати всім критеріям Ерроу.
Насправді механізм голосування, раціональний колективний вибір Теорема Ерроу і подальший діалог, неймовірно вводили в оману виборчої області. Часто студенти і спеціалісти вважають, що жодна система голосування не можуть відповідати критеріям справедливості Ерроу, тоді як, насправді, рейтингові системи здатні відповідати і задовольняють всім критеріям Ерроу.
