Відстань між паралельними прямими. Відстань між паралельними площинами

Пряма і площина є двома найважливішими геометричними елементами, за допомогою яких можна побудувати різні фігури у двовимірному і тривимірному просторі. Розглянемо, як знаходити відстань між паралельними прямими і паралельними площинами.

Математичне завдання прямій

Зі шкільного курсу геометрії відомо, що у двомірній прямокутній системі координат пряму можна поставити в такій формі:

y = k*x + b.

Де k і b представляють собою числа (параметри). Записана форма подання прямої на площині є площиною, яка паралельна осі z в тривимірному просторі. Зважаючи на це, у даній статті для математичного завдання прямої скористаємося більш зручною і універсальною формою – векторній формі.

Припустимо, що наша пряма паралельна деякого вектора u(a, b, c) і проходить через точку P(x0, y0, z0). В такому разі у векторній формі її рівняння буде представлено наступним чином:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ*(a, b, c).

Тут λ – це будь-яке число. Якщо уявити координати, розкривши записане вираз, то ми отримаємо параметричну форму запису прямої.

З векторним рівнянням зручно працювати при розв’язанні різних задач, в яких необхідно визначити відстань між паралельними прямими.

Прямі і відстань між ними

Говорити про відстані між прямими має сенс тільки тоді, коли вони є паралельними (у тривимірному випадку також існує ненульова відстань між мимобіжними прямими). Якщо прямі перетинаються, то очевидно, що вони перебувають на нульовому відстані один від одного.

Відстанню між паралельними прямими називається довжина з’єднує їх перпендикуляра. Щоб визначити цей показник, досить вибрати довільну точку на одній з прямих і з неї опустити перпендикуляр на іншу.

Опишемо коротко процедуру знаходження шуканої дистанції. Припустимо, що нам відомі векторні рівняння двох прямих, які представлені у такому загальному вигляді:

(x, y, z) = P + λ*u;

(x, y, z) = Q + β*v.

Побудуємо паралелограм на цих прямих, що однією із сторін буде PQ, а другий, наприклад, u. Очевидно, що висота фігури, проведена з точки P, є довжиною шуканого перпендикуляра. Для її знаходження можна застосувати таку просту формулу:

d = |[PQ*u]|/|u|.

Оскільки відстанню між паралельними прямими називається довжина перпендикулярного відрізка між ними, то згідно записаного виразу достатньо знайти модуль векторного добутку PQ і u і розділити отриманий результат на довжину вектора u.

Дивіться також:  Значення слова "чоловік" і походження

Приклад завдання на визначення відстані між прямими

Задані дві прямі наступними векторними рівняннями:

(x, y, z) = (2, 3, -1) + λ*(-2, 1, 3);

(x, y, z) = (1, 1, 1) + β*(2, -1, -3).

Із записаних виразів видно, що ми маємо дві паралельні прямі. Дійсно, якщо помножити на -1 координати направляючого вектора першої прямої, то вийдуть координати направляючого вектора другої прямої, що говорить про їх паралельності.

Відстань між паралельними прямими обчислимо, використовуючи записану в попередньому пункті статті формулу. Маємо:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1) => PQ = (-1, -2, 2);

u = (-2, 1, 3).

Тоді отримуємо:

|u| = √14 см;

d = |[PQ*u]|/|u| = √(90/14) = 2,535 див.

Відзначимо, що замість точок P і Q для рішення завдання можна було використовувати абсолютно будь-які точки, які належать даними прямими. При цьому ми отримали б те ж саме відстань d.

Завдання площини у геометрії

Вище було розглянуто детально питання про відстані між прямими. Тепер покажемо, як знаходити відстань між паралельними площинами.

Кожен уявляє, що таке площину. Згідно математичного визначенням, зазначений геометричний елемент являє собою сукупність точок. Причому якщо скласти всілякі вектора з допомогою цих точок, то всі вони будуть перпендикулярні одного єдиного вектору. Останній прийнято називати нормаллю до площини.

Для задання рівняння площини в тривимірному просторі найчастіше користуються загальною формою рівняння. Вона має такий вигляд:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Де великі латинські літери – це деякі числа. Зручно користуватися цим видом рівняння площини тому, що в ньому явно задані координати нормального вектора. Вони дорівнюють A, B, C.

Неважко зрозуміти, що дві площини є паралельними тільки тоді, коли їх нормалі паралельні.

Як знайти відстань між двома паралельними площинами ?

Щоб визначити вказану відстань, слід чітко уявляти, про що йде мова. Під відстанню між площинами, що паралельні один одному, розуміють довжину перпендикулярного їм відрізка. Кінці цього відрізка належать площинах.

Дивіться також:  Що таке окоп: значення слова

Алгоритм розв’язання подібних завдань простий. Для цього необхідно знайти координати абсолютно будь-якої точки, яка належить одній з двох площин. Потім, слід скористатися такою формулою:

d = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D|/√(A2 + B2 + C2).

Оскільки відстань – це величина позитивна, то в чисельнику стоїть знак модуля. Записана формула є універсальною, оскільки вона дозволяє розрахувати відстань від площини до абсолютно будь-якого геометричного елемента. Достатньо лише знати координати однієї точки цього елемента.

Для повноти інформації відзначимо, що якщо нормалі двох площин один одному не паралельні, то такі площини будуть перетинатися. Дистанція між ними тоді буде дорівнює нулю.

Завдання на визначення відстані між площинами

Відомо, що дві площини задані наступними виразами:

y/5 + x/(-3) + z/1 = 1;

-x + 3/5*y + 3*z – 2 = 0.

Необхідно довести, що площини є паралельними, а також визначити дистанцію між ними.

Щоб відповісти на першу частину завдання, необхідно перше рівняння призвести до загальної форми. Відзначимо, що воно дано в так званому вигляді рівняння у відрізках. Помножимо його на ліву і праву частини на 15 і перенесемо всі члени в одну сторону рівності, отримаємо:

-5*x + 3*y + 15*z – 15 = 0.

Випишемо координати двох нормальних векторів площин:

n1 = (-5, 3, 15);

n2 = (-1, 3/5, 3).

Видно, що якщо n2 помножити на 5, то ми точно отримаємо координати n1. Таким чином, розглянуті площини є паралельними.

Щоб обчислити відстань між паралельними площинами, виберемо довільну точку першої з них і скористаємося наведеною раніше формулою. Наприклад, візьмемо точку (0, 0, 1), яка належить першій площині. Тоді отримуємо:

d = |A*x0 + B*y0 + C*z0 + D|/√(A2 + B2 + C2) =

= 1/(√(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 див.

Шукане відстань становить 31 мм.

Дивіться також:  Основні пігменти рослин: опис та їх роль

Дистанція між площиною і прямою

Надані теоретичні знання дозволяють також вирішити завдання на визначення відстані між прямою і площиною. Вище вже згадувалося, що формула справедлива для розрахунків між площинами, є універсальною. Нею також можна скористатися для розв’язання поставленої задачі. Для цього досить вибрати будь-яку точку, яка належить заданій прямій.

Головною проблемою при визначенні відстані між розглянутими геометричними елементами є доказ їхньої паралельності (якщо це не так, то d=0). Паралельність легко довести, якщо обчислити скалярний добуток нормалі і направляючого вектора для прямої. Якщо розглянуті елементи паралельні, то це твір буде дорівнює нулю.