Інтерпретація теореми
Хоча теорема Про неможливість» доведена математично, її часто висловлюють нематематическим способом з допомогою такого твердження, що жоден з методів голосування не є справедливим, кожен ранжируваний метод голосування має недоліки, або єдиний метод голосування, який не є помилковим, – це диктатура. Ці твердження є спрощенням результату Ерроу, який не завжди вважається вірним. Теорема Ерроу стверджує, що детермінований механізм переважного голосування, тобто той, в якому порядок уподобань є єдиною інформацією при голосуванні, а будь-який можливий набір голосів дає унікальний результат, не може відповідати одночасно всім умовам, зазначеним вище.
Різні теоретики пропонували послабити критерій IIA як вихід з парадоксу. Прихильники рейтингових методів голосування стверджують, що IIA є невиправдано сильним критерієм, який порушено у більшості корисних виборчих систем. Прихильники цієї позиції вказують на те, що недотримання стандартного критерію IIA тривіально мається на увазі можливістю циклічних переваг. Якщо виборці голосують наступним чином:
- 1 голос за A> B> C;
- 1 голос за B> C> A;
- 1 голос за C> A> B.
Тоді перевагу групи в парному більшості полягає в тому, що A виграє у B, B виграє у C а C виграє у A і це дає перевагу «ножиці-рок-ножиці» для будь-якого парного порівняння.
У цьому випадку будь правило агрегації, які задовольняє основним мажоритарному вимогу про те, що кандидат, який отримав більшість голосів, має перемогти на виборах, не буде відповідати критерію IIA, якщо соціальні переваги повинні бути транзитивными або ациклічні. Щоб побачити це, припускають, що таке правило задовольняє IIA. Оскільки уподобання більшості дотримуються, суспільство віддає перевагу A – B (два голоси за A> B і B> A), B – C, C – A. Таким чином, створюється цикл, який суперечить припущенню про те, що соціальні переваги транзитивны.
Отже, теорема Ерроу дійсно показує, що будь-яка виборча система з більшістю перемог – нетривіальна гра, і що теорія ігор повинна використовуватися для прогнозування результатів більшості механізмів голосування. Це може розглядатися як несприятливий результат, тому що гра не повинна мати ефективних рівноваг, наприклад, голосування може призвести до альтернативи, яку ніхто насправді не хотів, але за неї проголосували всі.
