Перевірка
При малих значеннях n проблема Гольдбаха (і, отже, гіпотеза Гольдбаха) може бути перевірена. Наприклад, Нільс Пиппинг в 1938 році ретельно перевірив гіпотезу до n ≤ 105. З появою перших комп’ютерів було прораховано ще безліч значень n.
Олівейра Сільва здійснив розподілений комп’ютерний пошук, який підтвердив гіпотезу для n ≤ 4 × 1018 (і двічі перевірив до 4 × 1017) станом на 2013 рік. Одна запис з цього пошуку полягає в тому, що 3 325 581 707 333 960 528 – це найменше число, яке не має розбиття Гольдбаха з простим числом нижче 9781.
Евристика
Версія для сильної форми гіпотези Гольдбаха полягає в наступному: оскільки величина прямує до нескінченності зі зростанням n, ми очікуємо, що кожне велике парне ціле число має не тільки одне подання у вигляді суми двох простих чисел. Але насправді дуже багато подібних уявлень. Ким вирішена проблема Гольдбаха? На жаль, все ще ніким.
Цей евристичний аргумент насправді трохи неточний, оскільки він припускає, що m по відношенню до n є статистично незалежними. Наприклад, якщо m непарній, то n – m також непарна, а якщо m парно, то n – m парно, і це нетривіальне (складне) відношення, тому що крім числа 2 тільки непарні числа можуть бути простими. Точно так само, якщо n ділиться на 3, а m вже було простим, відмінним від 3, то n – m також взаємно просте з 3, тому з більшою ймовірністю буде простим числом на відміну від загального числа. Проводячи цей тип аналізу більш ретельно, Харді і Литтлвуд в 1923 році, в рамках своєї знаменитої гіпотези простих кортежів Харді – Литтлвуда, внесли вищезазначене уточнення у всю теорію. Але вирішити проблему це не допомогло досі.
