Проблема Гольдбаха є однією з найстаріших і найбільш розкручених завдань в історії всієї математики.
Було доведено, що ця гіпотеза вірна для всіх цілих чисел, менших 4 × 1018, але залишається недоведеною, незважаючи на значні зусилля математиків.
Число
Число Гольдбаха є позитивним цілим числом, що є сумою пари непарних простих чисел. Іншою формою утвердження гіпотези Гольдбаха є те, що всі парні великі цілі числа чотирьох є числами Гольдбаха.
Виділення подібних чисел називається розбиттям (або розділу) Гольдбаха. Нижче наведені приклади таких розділів для деяких парних чисел:
6 = 3 + 38 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 512 = 7 + 5…100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53.
Відкриття гіпотези
У Гольдбаха був колега по прізвища Ейлера, який любив вважати, складати складні формули і висувати вирішуються теорії. В цьому вони з Гольдбахом були схожі. Ейлер склав схожу математичну загадку ще до Гольдбаха, з яким вів постійне листування. Потім він запропонував друге припущення на полях свого манускрипту, згідно якому ціле число більше 2 можна записати як суму трьох простих чисел. Він рахував 1, простим числом.
Тепер відомо, що дві гіпотези аналогічні, але в той час це не було проблемою. Сучасна версія проблеми Гольдбаха свідчить, що кожне ціле число більше 5 можна записати як суму трьох простих чисел. Ейлер відповів у листі від 30 червня 1742 року і нагадав Гольдбаху про більш ранньому розмові, який у них був («… отже, ми говоримо про первісної (а не маргінальної) гіпотезі, що витікає з наступного твердження»).
Проблема Ейлера-Гольдбаха
2 і парні йому числа можуть бути записані як сума двох простих чисел, що також є гіпотези Гольдбаха. У листі від 30 червня 1742 року Ейлера заявив, що кожне парне ціле число являє собою результат додавання двох простих, він вважає це абсолютно певної теореми, хоча і не може довести цього.
Третя версія
Третя версія проблеми Гольдбаха (еквівалентна двом іншим версіям) – це форма, в яку гіпотеза зазвичай вбирається сьогодні. Вона також відома як «сильна», «парна» або «бінарна» гіпотеза Гольдбаха, щоб вміти відрізняти її від більш слабкою гіпотези, відомої сьогодні як «слабка», «непарна» або «трійкова» Гіпотеза Гольдбаха. Слабка гіпотеза стверджує, що всі непарні числа більше 7 є сумою трьох непарних простих чисел. Слабка гіпотеза була доведена в 2013 році. Слабка гіпотеза є наслідком сильної гіпотези. Зворотне слідство і сильна гіпотеза Гольдбаха залишаються недоведеними по теперішній день.
Перевірка
При малих значеннях n проблема Гольдбаха (і, отже, гіпотеза Гольдбаха) може бути перевірена. Наприклад, Нільс Пиппинг в 1938 році ретельно перевірив гіпотезу до n ≤ 105. З появою перших комп’ютерів було прораховано ще безліч значень n.
Олівейра Сільва здійснив розподілений комп’ютерний пошук, який підтвердив гіпотезу для n ≤ 4 × 1018 (і двічі перевірив до 4 × 1017) станом на 2013 рік. Одна запис з цього пошуку полягає в тому, що 3 325 581 707 333 960 528 – це найменше число, яке не має розбиття Гольдбаха з простим числом нижче 9781.
Евристика
Версія для сильної форми гіпотези Гольдбаха полягає в наступному: оскільки величина прямує до нескінченності зі зростанням n, ми очікуємо, що кожне велике парне ціле число має не тільки одне подання у вигляді суми двох простих чисел. Але насправді дуже багато подібних уявлень. Ким вирішена проблема Гольдбаха? На жаль, все ще ніким.
Цей евристичний аргумент насправді трохи неточний, оскільки він припускає, що m по відношенню до n є статистично незалежними. Наприклад, якщо m непарній, то n – m також непарна, а якщо m парно, то n – m парно, і це нетривіальне (складне) відношення, тому що крім числа 2 тільки непарні числа можуть бути простими. Точно так само, якщо n ділиться на 3, а m вже було простим, відмінним від 3, то n – m також взаємно просте з 3, тому з більшою ймовірністю буде простим числом на відміну від загального числа. Проводячи цей тип аналізу більш ретельно, Харді і Литтлвуд в 1923 році, в рамках своєї знаменитої гіпотези простих кортежів Харді – Литтлвуда, внесли вищезазначене уточнення у всю теорію. Але вирішити проблему це не допомогло досі.
Сильна гіпотеза
Сильна гіпотеза Гольдбаха набагато складніше, ніж слабка гіпотеза Гольдбаха. Пізніше Шнирельман довів, що будь-яке натуральне число, більше 1, може бути записано як сума не більше ніж простих чисел C, де C – ефективно обчислюється постійна. Її намагалися вирішити багато математики, вважаючи і примножуючи цифри, пропонуючи складні формули і т. д. Але у них ніколи нічого не виходило, бо гіпотеза надто складна. Ніякі формули не допомагали.
Але варто дещо відійти від питання докази проблеми Гольдбаха. Константа Шнірельман – це найменше число C з цією властивістю. Сам Шнирельман отримав C <800 000. Цей результат згодом був доповнений багатьма авторами, такими як Олів’є Рамаре, який в 1995 році показав, що кожне парне число n ≥ 4 насправді є сумою не більше шести простих чисел. Найбільш відомий результат в даний час пов’язаний з теорією Гольдбаха Гаральдом Хельфготтом.
Подальший розвиток
У 1924 році Харді і Литтлвуд в припущенні Р. Н. Х. показали, що кількість парних чисел аж до X, порушує бінарну проблему Гольдбаха, набагато менше, ніж для маленький с.
У 1973 році Чень Цзін’юнь спробував вирішити цю проблему, але у нього не вийшло. Він також був математиком, тому дуже любив вирішувати загадки і доводити теореми.
У 1975 році двоє американських математиків показали, що існують позитивні постійні c і C – такі, для яких достатньо великих чисел N. зокрема, безліч парних цілих чисел має нульову щільність. Все це стало в нагоді для роботи за рішенням тернарной проблеми Гольдбаха, яке відбудеться в майбутньому.
У 1951 році Линник довів існування такої постійної K, що кожне досить велике парне число є результатом додавання один до одного одного простого числа і іншого простого числа. Роджер Хіт-Браун та Ян-Крістоф Крок-Пухта в 2002 році виявили, що K = 13 працює. Це дуже цікаво для всіх людей, які люблять додавати один до одного, складати різні цифри і дивитися, що буде.
Рішення проблеми Гольдбаха
Як і в багатьох відомих гіпотезах в математиці, існує ряд передбачуваних доказів гіпотези Гольдбаха, жодне з яких не прийнято математичним співтовариством.
Хоча гіпотеза Гольдбаха передбачає, що кожне додатне ціле число більше одиниці може бути записано як сума не більше трьох простих чисел, що не завжди можна знайти таку суму, використовуючи жадібний алгоритм, який використовує максимально можливе просте число на кожному кроці. Послідовність Піллаі відстежує числа, які потребують найбільшої кількості простих чисел у їх жадібних уявленнях. Тому рішення проблему Гольдбаха все ще під питанням. Проте рано чи пізно її, швидше за все, вирішать.
Існують теорії, аналогічні проблеми Гольдбаха, в яких прості числа замінюються іншими конкретними наборами чисел, такими як квадрати.
Крістіан Гольдбах
Крістіан Гольдбах був німецьким математиком, який також вивчав право. Його пам’ятають сьогодні за гіпотезу Гольдбаха.
Він все життя працював математиком – дуже любив складати цифри, винаходити нові формули. Також він знав кілька мов, на кожному з яких вів свій особистий щоденник. Цими мовами були німецька, французька, італійська та російська. Також, за деякими даними, він володів англійською та латиною. Він був досить відомим математиком ще за життя. Також Гольдбах був досить тісно пов’язаний із Росією, адже у нього було безліч російських колег і особиста прихильність царської сім’ї.
Він продовжував працювати у знову відкрилася Санкт-Петербурзької академії наук в 1725 році в якості професора математики й історика академії. У 1728 році, коли Петро II став царем Росії, Гольдбах став його наставником. У 1742 році він вступив в МЗС Росії. Тобто він фактично працював в нашій країні. В той час В Росію приїжджали багато вчених, письменники, філософи і військові, тому що Росія того часу була країною можливостей зразок Америки. Багато зробили тут кар’єру. І наш герой не виняток.
Крістіан Гольдбах був багатомовним – він писав щоденник німецькою і латинською мовами, його листи були написані німецькою, латинською, французькою та італійською мовами, а для офіційних документів він використовував російську, німецьку та латинь.
Він помер 20 листопада 1764 року у віці 74 років в Москві. День, коли буде вирішена проблема Гольдбаха, стане гідним вшануванням його пам’яті.
Висновок
Гольдбах був великим математиком, який подарував нам одну з найбільших загадок цієї науки. Невідомо, розгадають її коли-небудь чи ні. Відомо лише, що її можливе дозвіл, як і у випадку з теоремою Ферма, відкриє нові перспективи для математики. Її дуже люблять вирішувати й аналізувати математики. Вона дуже цікава і цікава і з евристичною точки зору. Навіть студентам-математикам подобається вирішувати завдання-проблему Гольдбаха. А як же інакше? Адже молодих людей постійно тягне до всього яскравого, амбітному і невирішених, так як за рахунок подолання труднощів можна самоствердитися. Будемо сподіватися, що незабаром ця проблема буде вирішена молодими, амбітними, допитливими умами.
