Що лежить в основі парадоксу Бертрана
У своїй статті 1973 року «Добре поставлена проблема» Едвін Джейнс запропонував своє унікальне рішення. Він зазначив, що в основі парадоксу Бертрана лежить передумова, заснована на принципі «максимального невігластва». Це означає, що не слід використовувати яку-небудь інформацію, яка наводиться у формулюванні проблем. Джейнс зазначив, що завдання Бертрана не визначає положення або розмір кола. І стверджував, що тому будь-яке визначене і об’єктивне рішення повинно бути «байдужим» до розміру та положення.
Для ілюстрації
Варто припустити, що всі акорди стягнуто випадковим чином коло діаметром 2 сантиметри, тепер необхідно кидати в нього соломинки здалеку.
Потім потрібно взяти інший коло з меншим діаметром (наприклад, 1 сантиметр), який укладається у велику фігуру. Тоді розподіл акордів на цьому меншому колі повинно бути таким же, як на максимальному. Якщо друга фігура також переміщується всередині першої, ймовірність, в принципі, не повинна змінюватися. Дуже легко побачити, що для методу 3 відбудеться наступна зміна: розподіл акордів на маленькому червоному колі буде якісно відрізнятися від поділу на великій окружності.
Те ж саме відбувається для методу 1. Хоча це і важче побачити в графічному поданні.
Метод 2 є єдиним, який виявляється одночасно масштабним і трансляційний інваріантом.
Спосіб під номером 3 представляється просто розширюваним.
А ось метод 1 не є ні тим, ні іншим.
Тим не менш Джейнс непросто використовував інваріанти, щоб прийняти або відхилити дані способи. Це залишило б можливість того, що є ще один неописаний метод, який би відповідав його аспектів розумного значення. Джейнс застосовував інтегральні рівняння, що описують інваріантності. Щоб безпосередньо визначити розподіл ймовірностей. В його задачі інтегральні рівняння дійсно мають єдине рішення, і це саме те, що вище було названо другим методом випадкового радіусу.
У статті за 2015 рік Алон Дрори стверджує, що принцип Джейнса також може дати два інші рішення Бертранда. Автор запевняє, що математична реалізація вищезазначених властивостей інваріантності не унікальна, а залежить від базової процедури випадкового вибору, яку чоловік вирішив використовувати. Він показує, що кожне з трьох рішень Бертрана може бути отримано із застосуванням обертальної, масштабирующей і поступальної інваріантності. При цьому стверджуючи, що принцип Джейнса так само піддається інтерпретації, як і сам спосіб байдужості.
