Метод вибору
Необхідно вибрати радіус кола і точку на ньому. Після цього потрібно побудувати акорд через це місце, перпендикулярно діаметру. Щоб обчислити розглянутий парадокс Бертрана теорії ймовірності, потрібно уявити, що трикутник повернутий так, що сторона перпендикулярна радіусу. Хорда довше катета, якщо обрана точка знаходиться ближче до центру кола. І в цьому випадку сторона трикутника ділить навпіл радіус. Тому ймовірність, що хорда довші сторони вписаного фігури, дорівнює 1/2.
Випадкові акорди
Метод середньої точки. Необхідно вибрати місце на колі і створити акорд із заданою серединою. Вісь триваліше краю вписаного трикутника, у разі, якщо підібране місце знаходиться в межах концентричному колі радіуса 1/2. Площа меншого кола є однією четвертою більшої фігури. Тому ймовірністю випадкової хорди довше, ніж сторона вписаного трикутника, дорівнює 1/4.
Як представлено вище, методи вибору відрізняються за вагою, який вони дають певним акордам, які є діаметрами. У методі 1 кожен акорд може бути обраний точно одним способом, незалежно від того, є він діаметром.
У методі 2, кожна пряма лінія може бути обрана двома способами. Тоді як будь-який інший акорд буде обиратися лише однією з можливостей.
У методі 3 кожному вибором середньої точки відповідає єдиний параметр. За винятком центру кола, який є серединою всіх діаметрів. Цих проблем можна уникнути, «упорядкувавши» всі питання, щоб виключити параметри, не впливаючи на результуючі ймовірності.
Методи вибору також можуть бути візуалізовані наступним чином. Акорд, який не є діаметром, однозначно ідентифікується по його середній точці. Кожен з трьох методів вибору, представлених вище, дає різне розподіл середини. А 1 і 2 варіанти надають два різних неоднорідних поділу, в той час, як метод 3 дає рівномірний розподіл.
Класичний парадокс вирішення проблеми Бертрана залежить від методу, яким акорд вибирається «навмання». Виявляється, що, якщо заздалегідь зазначений спосіб випадкового відбору, задача має чітко певне рішення. Це пов’язано з тим, що у кожного окремого методу свій розподіл акордів. Три постанови, продемонстровані Бертраном, відповідають різним способам відбору і при відсутності додаткової інформації немає підстав віддавати перевагу одному над іншим. Відповідно, заявлена проблема не має єдиного рішення.
Приклад того, як зробити загальний відповідь унікальним полягає в тому, щоб вказати, що кінцеві точки хорди рівномірно розподілені між 0 і c, де c – окружність кола. Це розподіл таке ж, що і в першому аргументі Бертрана, і отримана унікальна ймовірність буде 1/3.
Цей парадокс Бертрана Рассела та інші унікальності класичної інтерпретації можливості виправдовують більш строгі формулювання. Включаючи частоту ймовірності та субъективистскую байєсівську теорію.
