Рівняння площини. Кут між двома площинами

Площина, поряд з точкою та прямою лінією, є базовим геометричним елементом. З його використанням будуються багато фігури в просторової геометрії. В даній статті розглянемо детальніше питання про те, як між двома площинами кут знайти.

Поняття

Перш ніж говорити про кут між двома площинами, слід добре розібратися, про якому елементі в геометрії піде мова. Розберемося з термінологією. Площина являє собою нескінченну сукупність точок у просторі, поєднуючи між собою які, ми отримаємо вектора. Останні будуть по відношенню до деякого одного вектора перпендикулярні. Його прийнято називати нормаллю до площини.

На малюнку вище показано площину і два нормальних вектора до неї. Видно, що лежать на одній прямій обидва вектора. Кут між ними становить 180 o.

Рівняння

Кут між двома площинами можна визначити, якщо відомо математичне рівняння розглянутого геометричного елемента. Існує кілька видів таких рівнянь, назви яких перераховані нижче:

  • загального типу;
  • векторне;
  • у відрізках.

Ці три види є найбільш зручними при вирішенні різного роду задач, тому вони найчастіше використовуються.

Рівняння загального типу виглядає наступним чином:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Тут x, y, z – координати довільної точки, що належить даній площині. Параметри A, B, C і D представляють собою числа. Зручність цієї форми запису полягає в тому, що числа A, B, C є координатами нормальної до площини вектора.

Векторна форма запису площині може бути представлена наступним чином:

x, y, z) = (x0, y0, z0) + α*(a1, b1, c1) + β*(a2, b2, c2).

Тут (a2, b2, c2) і (a1, b1, c1) – параметри двох векторів, координати, які належать розглянутій площині. Точка (x0, y0, z0) також лежить в цій площині. Параметри α і β можуть приймати незалежні один від одного і довільні значення.

Дивіться також:  Що означає префікс "архі". Слова з цією приставкою

Нарешті, рівняння площини у відрізках представляють в наступному математичному вигляді:

x/p + y/q + z/l = 1.

Тут p, q, l – конкретні числа (в тому числі негативні). Цей вид рівняння зручний, коли необхідно зобразити в прямокутній системі координат площину, оскільки числа p, q, l показують точки перетину з осями x, y і z площині.

Зауважимо, що кожен вид рівняння може бути перетворений в будь-який інший за допомогою нескладних математичних операцій.

Формула кута між двома площинами

Тепер розглянемо наступний нюанс. У тривимірному просторі дві площини можуть розташовуватися лише двома способами. Або перетинатися, або бути паралельними. Кутом між двома площинами називається те, що розташоване між їх напрямними векторами (нормальними). Перетинаючись, 2 вектора утворюють 2 кута (гострий і тупий в загальному випадку). В якості кута між площинами прийнято вважати гострий. Розглянемо рівняння.

Формула кута між двома площинами має вигляд:

θ = arccos(|(n1*n2)|/(|n1|*|n2|)).

Нескладно здогадатися, що цей вислів є прямим наслідком скалярного добутку нормальних векторів n1 і n2 для розглянутих площин. Модуль скалярного добутку в чисельнику вказує на те, що кут θ буде приймати тільки значення від 0o до 90o. Твір модулів нормальних векторів в знаменнику означає добуток їх довжин.

Зазначимо, якщо (n1*n2) = 0, то площини перетинаються під прямим кутом.

Приклад завдання

Розібравшись, що називається кутом між двома площинами, розв’яжемо наступну задачу. В якості прикладу. Отже, необхідно обчислити кут між площинами:

2*x – 3*y + 4 = 0;

(x, y, z) = (2, 0, -1) + α*(1, 1, -1) + β*(0, 2, 3).

Для вирішення задачі необхідно знати вектора направляючі площин. Для першої площини нормальний вектор дорівнює: n1 = (2, -3, 0). Щоб знайти другій площині нормальний вектор, слід помножити вектора, що стоять після параметрів α і β. В результаті отримаємо вектор: n2 = (5, -3, 2).

Дивіться також:  Значення слова ненавидіти і приклади пропозицій

Для визначення кута θ скористаємося формулою з попереднього пункту. Отримуємо:

θ = arccos (|((2, -3, 0)*(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)|*|(5, -3, 2)|)) =

= arccos (19/√(13*38)) = 0,5455 радий.

Розрахований кут в радіанах відповідає 31,26 o. Таким чином, площини з умови задачі перетинаються під кутом 31,26 o.