Вибірка частин
Ця частина в задачі вимагає розрахунку мета-середнього по всім можливим способам, які автори називають універсальним середнім. Щоб справитися з цим, вони використовують метод дискретизації. Натхненний тим, що робиться у визначенні закону ймовірності в винеровских процесах. Отриманий ними результат узгоджується з чисельною наслідком Джейнса, хоча їх добре поставлена задача відрізняється від початкової, авторської.
В економіці і комерції, парадокс Бертрана, названий на честь його творця Джозефа Бертрана описує ситуацію, в якій два гравця (фірми) досягають стану рівноваги Неша. Коли обидва підприємства встановлюють ціну, рівну граничним витратам (МС).
В основі парадоксу Бертрана лежить передумова. Вона полягає в тому, що в таких моделях, як конкуренція Курно, збільшення числа фірм пов’язано зі зближенням цін з граничними витратами. У цих альтернативних моделях парадокс Бертрана знаходиться в олігополії невеликої кількості фірм, які отримують позитивну прибуток, стягуючи ціни вище собівартості.
Для початку варто припустити, що дві фірми A і B продають однорідний товар, кожна з яких має однакову вартість виробництва і розподілу. З цього випливає, що покупці вибирають товар, виключно виходячи з ціни. А це означає, що попит нескінченно еластичний по вартості. Ні А, ні В не будуть встановлювати більш високу ціну, ніж інші, тому що це призведе до того, що весь парадокс Бертрана завалиться. Один з учасників ринку поступиться своєму конкуренту. Якщо вони встановлять однакову ціну, компанії будуть розділяти прибуток.
З іншого боку, якщо яка-небудь фірма хоча б трохи знизить свою ціну, вона отримає весь ринок і суттєво більшу віддачу. Оскільки A і B знають про це, кожен з них буде намагатися підрізати конкурента, поки продукт не буде продаватися з нульовим економічним прибутком.
Недавня робота показала, що може існувати додаткове рівновагу в парадокс Бертрана зі змішаною стратегією, з позитивної економічної прибутком за умови, що монопольна сума нескінченна. Для випадку кінцевого прибутку було показано, що позитивна надбавка в умовах цінової конкуренції неможлива в змішаних рівноваги і навіть у більш загальному випадку корельованих систем.
Насправді парадокс Бертрана в економіці рідко зустрічається на практиці, тому що реальні продукти майже завжди диференціюються яким-небудь іншим чином, крім ціни (наприклад, переплата за лейбл). Фірми мають обмеження на свої можливості по виробництву і розповсюдженню. Саме тому два підприємства рідко мають однакові витрати.
Результат Бертрана парадоксальний, тому що, якщо число фірм збільшується від однієї до двох, ціна знижується від монопольної до конкурентної і залишається на тому ж рівні, що і число підприємств, що збільшуються в подальшому. Це не дуже реалістично, оскільки у дійсності ринки з невеликою кількістю фірм, що володіють ринковою владою, зазвичай встановлюють ціну, що перевищує граничні витрати. Емпіричний аналіз показує, що в більшості галузей з двома конкурентами виходять позитивні прибутку.
У сучасному світі вчені намагаються знайти вирішення парадоксу, які більшою мірою відповідають моделі конкуренції Курно. Де дві фірми на ринку отримують позитивну прибуток, яка знаходиться десь між абсолютно конкурентним і монопольним рівнями.
Деякі причини, по яким парадокс Бертрана не має прямого відношення до економіки:
- Обмеження ємності. Іноді фірми не мають достатніх можливостей для задоволення всього попиту. Цей момент був вперше піднятий Френсісом Эджвортом і дав початок моделі Бертрана-Еджворта.
- Цілочисельні ціни. Ціни вище MC виключені, тому що одна фірма може підрізати іншу на довільно невелику суму. Якщо ціни є дискретними (наприклад, повинні приймати цілочисельні значення), то одна фірма повинна підрізати іншу не менш ніж на один рубль. Це передбачає, що вартість на дрібну валюту вище MC. Якщо ж інша фірма встановлює ціну на неї вище, інше підприємство може знизити її і захопити весь ринок, парадокс Бертрана полягає саме в цьому. Це не завдасть їй ніякої прибутку. Це підприємство захоче поділитися продажами 50/50 з іншою фірмою і отримувати суто позитивну виручку.
- Диференціація продуктів. Якщо товари різних фірм відрізняються один від одного, то споживачі можуть не повністю переключатися на продукти з більш низькою ціною.
- Динамічна конкуренція. Повторне взаємодія або неодноразове цінове суперництво може привести до рівноваги вартості.
- Більше товару за більш високу суму. Це випливає з повторюваного взаємодії. Якщо одна компанія встановлює свою ціну трохи вище, вона все одно буде отримувати приблизно однакову кількість покупок, але більший прибуток за кожен товар. Тому інша компанія буде підвищувати свою націнку і т. д. (Тільки у повторних іграх, в іншому випадку динаміка йде в іншому напрямку).
