Завдання на визначення обсягу піраміди через її апофему і бічне ребро
Апофемой піраміди називають висоту її бічного трикутника, яка опущена на сторону основи. Оскільки всі трикутники рівні в правильній піраміді, то їх апофемы також будуть однаковими. Позначимо її довжину символом hb. Бічне ребро позначимо як b.
Знаючи, що апофема піраміди дорівнює 12 см, а бічне ребро дорівнює 15 см, знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди.
Записана в попередньому пункті формула для об’єму фігури містить два параметри: довжину сторони a і висоту h. На даний момент нам не відомий жоден з них, тому займемося їх обчисленнями.
Довжину сторони квадрата a нескладно розрахувати, якщо скористатися теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, у якого є гіпотенузою ребро b, а катетами будуть апофема hb і половина сторони підстави a/2. Отримуємо:
b2 = hb2 + a2/4 =>
a = 2*√(b2 – hb2).
Підставляючи відомі значення з умови, отримаємо величину a = 18 див.
Щоб обчислити висоту h піраміди, можна зробити двома способами: розглянути прямокутний трикутник з гіпотенузою-бічним ребром або з гіпотенузою-апофемой. Обидва способи рівноправні і передбачають виконання одного і того ж кількості математичних операцій. Зупинимося на розгляді трикутника, де є гіпотенузою апофема hb. Катетами в ньому будуть h і a/2. Тоді отримуємо:
h = √(hb2-a2/4) = √(122 – 182/4) = 7,937 див.
Тепер можна скористатися формулою для об’єму V:
V = 1/3*a2*h = 1/3*182*7,937 = 857,196 см3.
Таким чином, об’єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює приблизно 0,86 літра.
