У фізиці існує кілька видів прискорення, які використовуються для опису того чи іншого типу механічного переміщення тіл у просторі. Всі ці види є векторними величинами. У цій статті не будемо розглядати питання, куди направлено прискорення, а зосередимо свою увагу на формулах модуля прискорення.
Що таке прискорення?
Максимально повне визначення цієї кінематичної характеристики можна привести наступне: прискорення – це величина, що показує швидкість зміни швидкості в часі. Мова йде про зміну як модуля, так і напряму. Математично прискорення обчислюють так:
a = dv/dt.
Воно називається миттєвим, тобто справедливим для конкретного моменту часу t. Щоб знайти середнє значення модуля прискорення, таку формулу необхідно використовувати:
a = (v2 – v1)/(t2 – t1).
Де v2 і v1 – швидкість у моменти часу t2 і t1 відповідно.
Одиницями вимірювання досліджуваної фізичної величини є метри в квадратну секунду (м/с2). Багатьох може збентежити зведення в другу ступінь одиниць часу, тим не менш, зрозуміти сенс одиниці м/с2 нескладно, якщо її представити у вигляді [м/с]/с. Остання запис означає зміна швидкості на одну одиницю за одну одиницю часу.
Рух по прямій і прискорення
Найпростішою траєкторією для переміщення тіл у просторі є пряма лінія. Якщо швидкість при русі по такій траєкторії не змінюється, то говорити про прискорення не доводиться, оскільки він буде дорівнює нулю.
У техніці широко поширене прямолінійне равноускоренное (равнозамедленное) рух. Наприклад, при старті автомобіля або при його гальмуванні ми маємо саме цей вид руху. Для його математичного опису користуються наступними рівностями:
v = v0±a*t;
l = v0*t±a*t2/2.
Тут v0 – деяка початкова швидкість тіла, яка може бути також дорівнює нулю, l – пройдений тілом шлях до моменту часу t. Знак ” + ” свідчить про прискорення тіла, знак – – про його гальмуванні. Важливо запам’ятати, що час t при використанні записаних формул починає відраховуватися від моменту появи у тіла постійного прискорення a. З урахуванням записаних рівностей, формули модуля прискорення тіла приймають вид:
±a = (v – v0)/t;
±a = 2*(l – v0*t)/t2.
Як правило, якщо тіло прискорюється, то говорять про позитивному прискоренні, якщо ж воно сповільнює свій рух, то говорять про від’ємною величиною a. Неважко перевірити, що обидві формули призводять до однієї і тієї ж одиниці вимірювання прискорення (м/с2).
Повне прискорення і його компоненти при русі тіла по кривій
У разі переміщення тіла по криволінійній траєкторії, величину a зручно представити у вигляді двох взаємно перпендикулярних складових. Вони називаються тангенціальним at і нормальним an прискореннями. Для такого випадку формула модуля прискорення точки приймає вигляд:
a = √(at2 + an2).
Тангенціальну компоненту слід розраховувати через похідну функції v(t) за часом. Нормальна ж компонента визначається не зміною модуля швидкості, а самої її величиною. Для її розрахунку користуються таким виразом:
an = v2/r.
Тут r – радіус кривизни траєкторії, який у разі обертання по колу збігається з радіусом останньої.
Для повноти інформації зазначимо, що криволінійність траєкторії переміщення тіла є достатньою ознакою присутності ненульовий нормальної складової прискорення. При цьому величина at може бути дорівнює нулю, що є справедливим для рівномірного обертання тел.
Кутове прискорення
Як було зазначено у вступі, існують кілька видів прискорення. Одним з них є кутова кінематична величина. Позначимо її α. За аналогією з лінійним прискоренням, формула модуля прискорення кутового має вигляд:
α = dω/dt.
Де грецькою буквою ω (омега) позначена кутова швидкість, одиницями виміру якої є радіан за секунду. Величина α показує, як швидко тіло збільшує або уповільнює швидкість свого обертання.
Кутове прискорення можна пов’язати з лінійною величиною. Робиться це за допомогою такої формули:
α = at/r.
Важливо розуміти, що кутове прискорення є зручним способом подання тангенціальної складової повного прискорення у випадку обертального руху. Зручність тут полягає в незалежності величини α від відстані до осі обертання r. У свою чергу, компонента at лінійно зростає при збільшенні радіуса кривизни r.
Приклад розв’язання задачі
Відомо, що тіло обертається по колу, радіус якої становить 0,2 метра. Обертання є прискореним, при цьому швидкість змінюється в часі за наступним законом:
v = 2 + 3*t2 + 2*t3.
Необхідно визначити тангенціальне, нормальне, повне і кутове прискорення в момент часу 3 секунди.
Почнемо вирішувати цю задачу по порядку. Тангенціальна компонента визначається через похідну швидкості. Маємо:
at = dv/dt = 6*t + 6*t2 = 6*3 + 6*9 = 76 м/с2.
Зазначимо, що це дуже велике прискорення порівняно з прискоренням вільного падіння (9,81 м/с2).
Нормальна компонента обчислюється так:
an = v2/r = 1/r*(2 + 3*t2 + 2*t3)2 = 1/0,2*(2+27+54)2 = 34445 м/c2.
Тепер можна розрахувати повне прискорення. Воно буде дорівнює:
a = √(at2 + an2) = √(76 2 + 34445 2) = 34445,1 м/с2.
Тобто, повне прискорення практично повністю утворено нормальної компонентою.
Нарешті, кутове прискорення визначається за формулою:
α = at/r = 76/0,2 = 380 рад/с2.
Отримане значення відповідає збільшенню швидкості кутовий приблизно на 60 обертів за кожну секунду.
