Обертаючий момент. Обертаючий момент: формула. Момент сили: визначення

Обертання є типовим видом механічного руху, яке часто зустрічається в природі і техніці. Будь обертання виникає в результаті впливу деякої зовнішньої сили на розглянуту систему. Ця сила створює так званий обертаючий момент. Що він собою являє, від чого залежить, розглядається у статті.

Процес обертання

Перш ніж розглядати концепцію обертаючого моменту, дамо характеристику систем, до яких може бути застосована ця концепція. Система обертання передбачає наявність у ній осі, навколо якої здійснюється круговий рух або поворот. Відстань від осі до матеріальних точок системи називається радіусом обертання.

З точки зору кінематики, процес характеризується трьома кутовими величинами:

кутом повороту θ (вимірюється в радіанах);
кутовою швидкістю ω (вимірюється в радіанах в секунду);
кутовим прискоренням α (вимірюється в радіанах в секунду квадратну).

Ці величини пов’язані один з одним наступними рівностями:

ω = dθ/dt;
α = dω/dt.

Прикладами обертання в природі є руху планет по своїх орбітах навколо своїх осей, руху смерчів. У побуті і техніці розглянуте рух характерно для моторів двигунів, гайкових ключів, будівельних кранів, відкривання дверей і так далі.

Визначення моменту сили

Тепер перейдемо до безпосередньої теми статті. Згідно фізичній визначенням, момент сили являє собою векторний добуток вектора прикладення сили відносно осі обертання на вектор самої сили. Відповідне математичне вираз можна записати так:

M = [r*F].

Тут вектор r спрямований від осі обертання до точки прикладання сили F.

У цій формулі обертаючого моменту M сила F може бути спрямована як завгодно щодо напрямку осі. Тим не менш паралельна осі компонента сили не буде створювати обертання, якщо вісь жорстко закріплена. У більшості задач з фізики доводиться розглядати сили F, які лежать в площинах, перпендикулярних осі обертання. У цих випадках абсолютне значення обертаючого моменту можна визначити по наступній формулі:

|M| = |r|*|F|*sin(β).

Де β є кутом між векторами r і F.

Що таке важіль сили?

Важіль сили грає важливу роль при визначенні величини моменту сили. Щоб зрозуміти, про що йде мова, розглянемо наступний малюнок.

Тут показаний певний стрижень довжиною L, який закріплений в точці обертання одним зі своїх кінців. На інший кінець діє сила F, спрямована під гострим кутом φ. Відповідно до визначення моменту сили, можна записати:

M = F*L*sin(180 o-φ).

Кут (180 o-φ) з’явився тому, що вектор L спрямований від закріпленого кінця до вільного. Враховуючи періодичність тригонометричної функції синуса, це рівність можна переписати в такому вигляді:

M = F*L*sin(φ).

Тепер звернемо увагу на прямокутний трикутник, побудований на сторонах L, d і F. За визначенням функції синуса, твір гіпотенузи L на синус кута φ дає значення катета d. Тоді приходимо до рівності:

M = F*d.

Лінійна величина d називається важелем сили. Він дорівнює відстані від вектора сили F до осі обертання. Як видно з формули, поняттям важеля сили зручно користуватися при обчисленні моменту M. Отримана формула говорить про те, що максимальний обертаючий момент для деякої сили F буде виникати тільки тоді, коли довжина радіус-вектора r (L на малюнку вище) буде дорівнює важелю сили, тобто r і F будуть взаємно перпендикулярні.

Напрямок дії величини M

Вище було показано, що обертаючий момент – це векторна характеристика для даної системи. Куди спрямований цей вектор? Відповісти на це питання не представляє особливої праці, якщо згадати, що результатом добутку двох векторів є третій вектор, який лежить на осі, перпендикулярній площині розташування вихідних векторів.

Залишається вирішити, чи буде спрямований момент сили вгору або вниз (на читача або від нього) щодо згаданій площині. Визначити це можна або за правилом буравчика, або з допомогою правила правої руки. Наведемо обидва правила:

Правило правої руки. Якщо розташувати праву кисть таким чином, щоб чотири її пальці рухалися від початку вектора r до його кінця, а потім від початку вектора F до його кінця, то великий палець, оттопыренный, вкаже на напрям моменту M.
Правило буравчика. Якщо напрямок обертання уявного буравчика збігається з напрямком обертального руху системи, то поступальний рух буравчика вкаже на напрям вектора M. Нагадаємо, що він обертається тільки за годинниковою стрілкою.

Обидва правила є рівноправними, тому кожен може використовувати те, що є для нього більш зручним.

При вирішенні практичних завдань різний напрямок обертаючого моменту (вгору – вниз, вліво – вправо) враховується з допомогою знаків “+” або “-“. Слід запам’ятати, що за позитивний напрямок моменту M прийнято вважати таке, яке призводить до обертання системи проти годинникової стрілки. Відповідно, якщо якась сила приводить до обертання системи по ходу стрілки годинника, то створюваний її момент буде мати негативну величину.

Фізичний зміст величини M

У фізиці і механіці обертання величина M визначає здатність сили або суми сил здійснювати обертання. Оскільки в математичному визначенні величини M варто не тільки сила, але і радіус-вектор її додатка, саме остання багато в чому визначає зазначену обертальну здатність. Щоб зрозуміліше було, про який здібності йдеться, наведемо кілька прикладів:

Кожна людина, хоча б один раз у житті намагався відкрити двері, взявшись не за ручку, а штовхнувши її недалеко від петель. В останньому випадку доводиться прикладати значне зусилля, щоб домогтися бажаного результату.
Щоб відкрутити гайку з болта, використовують спеціальні гайкові ключі. Чим довший ключ, тим легше відкрутити гайку.
Щоб відчути важливість важеля сили, пропонуємо читачам зробити наступний експеримент: взяти стілець і спробувати втримати його однією рукою на вазі, в одному випадку руку притулити до тіла, в іншому – виконати завдання на прямій руці. Останнім для багатьох виявиться непосильним завданням, хоча вага стільця залишився тим же самим.

Одиниці вимірювання моменту сили

Кілька слів слід сказати про те, в яких одиницях СІ вимірюється обертаючий момент. Згідно записаної для нього формулою, він вимірюється в ньютонах на метр (Н*м). Проте в цих одиницях також вимірюється робота і енергія у фізиці (1 Н*м = 1 дж). Джоуль для моменту M не застосовується, оскільки робота є скалярною величиною, M ж – це вектор.

Тим не менш збіг одиниць моменту сили з одиницями енергії не є випадковим. Робота по обертанню системи, досконала моментом M, розраховується за формулою:

A = M*θ.

Звідки отримуємо, що M також може бути виражений в джоулях на радіан (Дж/рад).

Динаміка обертання

На початку статті ми записали кінематичні характеристики, які використовуються для опису руху обертання. В динаміці обертання головним рівнянням, яке використовує ці характеристики, є наступне:

M = I*α.

Дія моменту M на систему, що має момент інерції I, призводить до появи кутового прискорення α.

Цю формулу застосовують для визначення кутових частот обертання в техніці. Наприклад, знаючи обертовий момент асинхронного двигуна, який залежить від частоти струму в котушці статора і від величини магнітного поля змінюється, а також знаючи інерційні властивості обертового ротора, можна визначити, до якої швидкості обертання ω розкручується ротор двигуна за певний час t.

Приклад розв’язання задачі

Невагомий важіль, довжина якого становить 2 метри, посередині має опору. Яку вагу слід покласти на один кінець важеля, щоб він перебував у стані рівноваги, якщо з іншого боку опори на відстані 0,5 метра від неї лежить вантаж масою 10 кг?

Очевидно, що рівновага важеля настане, якщо моменти сил, що створюються вантажами, будуть рівні по модулю. Сила, що створює момент в даній задачі, являє собою вагу тіла. Важелі сили дорівнюють відстаням від вантажів до опори. Запишемо відповідну рівність: