Вивчення фізики починають з розгляду механічного руху. У загальному випадку тіла рухаються за кривими траєкторіями з змінними швидкостями. Для їх опису використовують поняття прискорення. У цій статті розглянемо, що таке тангенціальне і нормальне прискорення.
Кінематичні величини. Швидкість і прискорення в фізиці
Кінематика механічного руху – це розділ фізики, який займається вивченням і описом переміщення тіл у просторі. Кінематика оперує трьома головними величинами:
- пройдений шлях;
- швидкість;
- прискорення.
У випадку руху по колу використовують аналогічні кінематичні характеристики, які наведені до центрального куті колу.
З поняттям швидкості знайомий кожен. Вона показує швидкість зміни координат тіл, що знаходяться в русі. Швидкість завжди спрямована по дотичній до лінії, вздовж якої тіло переміщується (траєкторії). Далі лінійну швидкість будемо позначати v, а кутову швидкість ω.
Прискорення – це швидкість зміни величин v і ω. Прискорення – це теж векторна величина, однак її напрямок абсолютно не залежить від вектора швидкості. Прискорення завжди спрямоване в бік діючої на тіло сили, яка викликає зміну вектора швидкості. Прискорення для будь-якого типу руху можна розрахувати за формулою:
a = dv / dt
Чим сильніше зміниться швидкість за інтервал часу dt, тим більше буде прискорення.
Для розуміння викладеної далі інформації необхідно пам’ятати, що прискорення з’являється в результаті будь-якої зміни швидкості, включаючи зміни її модуля, так і її напрямки.
Дотичне і нормальне прискорення
Припустимо, що матеріальна точка рухається по деякій кривій лінії. Відомо, що в деякий момент часу t її швидкість дорівнювала v. Оскільки швидкість – це дотичний до траєкторії вектор, її можна представити в наступному вигляді:
v = v × ut
Тут v – довжина вектора v, а ut – одиничний вектор швидкості.
Щоб обчислити вектор повного прискорення в момент часу t, необхідно знайти похідну від швидкості за часом. Маємо:
a = dv / dt = d (v × ut) / dt
Оскільки модуль швидкості і одиничний вектор змінюються з часом, то, користуючись правилом знаходження похідної від добутку функцій, отримуємо:
a = dv / dt × ut + d (ut) / dt × v
Перший доданок у формулі називається тангенціальною, або дотичній компонентою прискорення, другий доданок – це нормальне прискорення.
Дотичне прискорення
Ще раз запишемо формулу для обчислення щодо прискорення:
at = dv / dt × ut
Це рівність означає, що тангенціальне (дотичне) прискорення спрямоване так само, як вектор швидкості в будь-якій точці траєкторії. Воно чисельно визначає зміни модуля швидкості. Наприклад, у разі прямолінійного руху повне прискорення складається тільки з дотичній складової. Нормальне прискорення при такому типі переміщення дорівнює нулю.
Причиною появи величини at є вплив зовнішньої сили на рухоме тіло.
У разі обертання з постійним кутовим прискоренням α тангенціальна складова прискорення може бути обчислена за такою формулою:
at = α × r
Тут r – це радіус обертання розглянутої матеріальної точки, для якої обчислюється величина at.
Нормальне або центростремительное прискорення
Тепер випишемо ще раз другу компоненту повного прискорення:
ac = d (ut) / dt × v
З геометричних міркувань можна показати, що похідна одиничного стосовного до траєкторії вектора по часу дорівнює відношенню модуля швидкості v до радіуса r у момент часу t. Тоді вище вираз запишеться так:
ac = v2 / r
Ця формула нормального прискорення свідчить, що воно, на відміну від дотичної компоненти, не залежить від зміни швидкості, а визначається квадратом модуля самій швидкості. Також ac зростає зі зменшенням радіуса обертання при постійній величині v.
Нормальне прискорення називають доцентровим тому, що воно спрямоване від центру мас обертового тіла до осі обертання.
Причиною появи цього прискорення є центральна компонента впливає на тіло сили. Наприклад, у випадку обертання планет навколо нашого Сонця доцентровою силою є гравітаційне тяжіння.
Нормальне прискорення тіла змінює лише напрям швидкості. Воно не здатне змінити її модуль. Цей факт є важливим його відмінністю від дотичної компоненти повного прискорення.
Оскільки центростремительное прискорення виникає завжди, коли вектор швидкості повертається, то воно існує також у випадку рівномірного обертання по колу, при якому тангенціальне прискорення дорівнює нулю.
На практиці відчути на собі вплив нормального прискорення можна, якщо знаходитися в машині, коли вона здійснює затяжний поворот. У цьому разі пасажирів притискає до протилежного напрямку повороту дверей автомобіля. Це явище – результат дії двох сил: відцентрової (зміщення пасажирів зі своїх місць) і доцентрової (тиск на пасажирів зі сторони дверей автомобіля).
Модуль і напрям повного прискорення
Отже, ми з’ясували, що тангенціальна компонента даної фізичної величини спрямована по дотичній до траєкторії руху. У свою чергу, нормальна компонента перпендикулярна траєкторії в даній точці. Це означає, що дві компоненти прискорення перпендикулярні один одному. Їх векторне додавання дає вектор повного прискорення. Обчислити його модуль можна за наступною формулою:
a = √(at2 + ac2)
Напрямок вектора a можна визначити як відносно вектора at, так і щодо ac. Для цього слід використовувати відповідну тригонометрическую функцію. Наприклад, кут між повним і нормальним прискореннями дорівнює:
φ = arccos(ac / a)
Рішення задачі на визначення доцентрового прискорення
Колесо, що має радіус 20 см, розкручується з кутовим прискоренням 5 рад/с2 протягом 10 секунд. Необхідно визначити нормальне прискорення точок, що знаходяться на периферії колеса, через вказаний час.
Для розв’язання задачі скористаємося формулою зв’язку між тангенціальним і кутовими прискореннями. Отримуємо:
at = α × r
Оскільки равноускоренное рух тривало протягом часу t = 10 секунд, то придбана за цей час лінійна швидкість була дорівнює:
v = at × t = α × r × t
Отриману формулу підставляємо у відповідний вираз для нормального прискорення:
ac = v2 / r = α2 × t2 × r
Залишається підставити відомі значення в це рівність і записати відповідь: ac = 500 м/с2.
