Розгортка фігури
Розглядаючи площа поверхні зрізаного конуса, корисно привести його розгортку, тобто зображення поверхні об’ємної фігури на площині. Нижче зображена розгортка досліджуваної фігури з довільними параметрами.
Видно, що площа фігури утворена трьома складовими: два кола і один усічений круговий сегмент. Очевидно, що для визначення шуканої площі, необхідно скласти площі всіх названих фігур. Займемося вирішенням цієї задачі в наступному пункті.
Площа усіченого конуса
Щоб легше було зрозуміти подальші міркування, введемо наступні позначення:
- r1, r2 – радіуси великого і малого підстав відповідно;
- h – висота фігури;
- g – твірна конуса (довжина похилої сторони трапеції).
Площа підстав усіченого конуса розрахувати нескладно. Запишемо відповідні вирази:
So1 = pi*r12;
So2 = pi*r22.
Площа частини кругового сегмента визначити дещо складніше. Якщо уявити, що центр цього кругового сектора не вирізано, тоді його радіус дорівнює величині G. Обчислити її нескладно, якщо розглянути відповідні подібні прямокутні трикутники конуса. Вона дорівнює:
G = r1*g/(r1-r2).
Тоді площа цілого кругового сектора, який побудований на радіусі G і який спирається на дугу довжиною 2*pi*r1, буде дорівнює:
S1 = pi*r1*G = pi*r12*g/(r1-r2).
Тепер визначимо площу малого кругового сектора S2, яку потрібно буде відняти з S1. Вона дорівнює:
S2 = pi*r2*(G – g) = pi*r2*(r1*g/(r1-r2) – g) = pi*r22*g/(r1-r2).
Площа конічної усіченої поверхні Sb дорівнює різниці S1 і S2. Отримуємо:
Sb = S1 – S2 = pi*r12*g/(r1-r2) – pi*r22*g/(r1-r2) = pi*g*(r1+r2).
Незважаючи на дещо громіздкі обчислення, ми отримали досить простий вираз для площі бічної поверхні фігури.
Склавши площі підстав і Sb, приходимо до формули площі усіченого конуса:
S = So1 + So2 + Sb = pi*r12 + pi*r22 + pi*g*(r1+r2).
Таким чином, для розрахунку величини S досліджуваної фігури необхідно знати три її лінійних параметра.
