Складність деяких рівнянь
В даному випадку мова йде про диференціювання та інтегрування степеневих рядів. Функцію можна розглядати так, як ніби x – є областю інтервалу збіжності точок. Правда метод підійде далеко не всім. Справа в тому, що будь-які функції можуть бути виражені у вигляді степеневих рядів, перетворюючись в лінійну структуру і навпаки.
Наприклад, дано ex. Ми може виразити його в якості рівняння, яке насправді є просто нескінченним поліномом. Степеневий ряд легко помітити, обчисливши, але він не завжди ефективний.
Визначений інтеграл як границя суми
Подивіться на наступне графічне інтегрування та диференціювання.
Для того щоб легко розуміти складну функцію, досить ретельно розібратися в ній. Оцінимо область PRSQP між кривою у = f (x), віссю х та координатами x = а і х = b». Тепер розділіть інтервал [а, b] на ‘n’ рівних подинтервалов, позначених наступним чином: [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [x2 , x3 ]…. [xn – 1 , xn ].
Де x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, x3 = a + 3h… .. xr = a + rh і xn = b = a + nh або n = (b – a) / h. (1). Зазначимо, що при n → ∞ h → 0.
Розглянуте простір PRSQP є сумою всіх «n» подобластей, де кожна визначена на певній посередності [хг-1 , хг ], r = 1, 2, 3… n. При правильному підході, дані функції можна піддати диференціювання та інтегрування для швидкого вирішення.
Тепер подивіться на ABDM на малюнку. На його основі доцільно зробити наступне спостереження про площах: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).
Також відзначимо, що при h → 0 або хг – хг-1 → 0 всі три області стають практично рівними один одному. Отже, ми маємо:
sn = h [f(x0) + f(x1) + f(x2) + …. f(xn – 1)] = h r=0∑n–1 f(xr) (2)
або Sn = h [f(x1) + f(x2) + f(x3) + …. f(xn)] = h r=1∑n f(xr) (3)
В даному випадку sn і Sn позначають суму площ всіх нижніх і верхніх прямокутників, піднятих над інтервалами [хг–1, хг] для r = 1, 2, 3,…, n відповідно. Щоб уявити це в перспективі, рівняння (1) можна переписати у вигляді:
sn < площа області (PRSQP) < Sn … (4)
Крім того, передбачається, що граничні значення (2) і (3) однакові в обох випадках, і спільним є лише площа під кривою. У результаті ми маємо:
limn → ∞ Sn = limn → ∞ sn = галузі PRSQP = ∫ab f(x) dx … (5)
Площа також є граничним значенням простору, яке знаходиться між прямокутниками нижче кривої і над кривою. Для зручності слід звернути увагу на висотку фігури, рівну кривий на лівому краю кожного подинтервала. Отже, рівняння переписується в кінцевий варіант:
∫ab f(x) dx = limn → ∞ h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n – 1}h)]
або ∫ab f(x) dx = (b – a) limn → ∞ (1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n – 1}h)]
