Навіщо потрібна інтеграція по частинах?
Ситуації трапляються різні. Часом рішення виявляються куди складніше, ніж на перший погляд. Тому слід виділити основні проблеми, нерідко зустрічаються при почленном інтегрування і диференціювання степеневих рядів. Розглянемо два основних правила.
По-перше, ту частину, яку ми маємо намір інтегрувати, тобто обрану для g ‘(x), ми повинні мати можливість перетворити. Зробити це важливо максимально швидко. Справа в тому, що складне інтегрування для g рідко приводить до кращого інтегралу, підвищуючи складність. Все це негативно позначається на свободу наших дій під час рішень, а також залежить від ступенів, синусів і косинусів. Нехай пошук правильної відповіді займе час, але приведе до правильного, ніж заплутаному.
По-друге, все інше, тобто частина, яку ми маємо намір диференціювати і позначимо F, повинна помітно виділитися після перетворення. Після нескладної процедури ми зауважимо, що новий інтеграл виявиться більш спрощеним, ніж попередник.
Так, коли ми об’єднуємо два правила і використовуємо його при вирішенні, то отримуємо можливість скористатися диференціюванням та інтегруванням степеневих функцій, які має сенс розглядати по частинах.
Існує і спосіб видалення x, що дозволяє ефективно задіяти перетворення в різних ситуаціях. Наприклад, ми можемо легко інтегрувати, помноживши функцію на поліном, який ми скорочуємо з допомогою диференціювання.
∫ x2 sin(3x) dx
∫ x7 cos(x) dx
∫x4 e4x dx
В якості f ми беремо ступінь x (у більш загальному випадку – многочлен), а також використовуємо g’. Очевидно, що кожне диференціювання зменшує ступінь числа на одиницю, тому, якщо у прикладі вона досить висока – застосуйте почленное інтегрування кілька разів. Це допоможе скоротити час.
