Рух по колу: формули і розрахунки

Переміщення тіл по колу досить поширене в нашому житті і в природі. Яскравими прикладами цього типу переміщення є обертання вітрових млинів, планет навколо своїх зірок і коліс транспортних засобів. У цій статті розглянемо, якими формулами рух по колу тіл описується.

Переміщення по колу і по прямій лінії у фізиці

У фізиці питаннями руху займається кінематика. Вона встановлює зв’язок між величинами, що описують цей процес. В динаміці також приділяється увага руху, однак вона орієнтована на опис причин його виникнення. Іншими словами, якщо для кінематики головними фізичними величинами є шлях і швидкість, то для динаміки – це діючі на тіла сили.

У фізиці прийнято виділяти два ідеальних типи траєкторій руху:

пряма лінія;
окружність.

Математичний апарат для опису руху по обох типів траєкторій розвинений настільки добре, що розуміння формул, наприклад для прямолінійного руху, автоматично призводить до розуміння виразів для руху по колу. Єдина принципова різниця між формулами зазначених типів переміщення полягає в тому, що для руху по колу зручно використовувати кутові характеристики, а не лінійні.

Далі в статті будемо розглядати виключно кінематичні формули руху по колу тіл, не вдаючись в подробиці динаміки.

Кутові характеристики руху: кут повороту

Перш ніж записувати формули руху по колу в фізиці, слід ввести величини, які будуть фігурувати в цих формулах.

Почнемо з кута повороту. Будемо позначати його грецькою буквою θ (тета). Оскільки обертання передбачає рух точки вздовж однієї і тієї ж колу, то значення кута повороту θ за певний проміжок часу можна використовувати для визначення кількості обертів, що зробила ця точка. Нагадаємо, що вся окружність дорівнює 2*pi радіан, або 360o. Тоді формула для числа обертів n через кут θ прийме вигляд:

n = θ/(2*pi)

Тут і далі у всіх формулах кут виражається в радіанах.

Користуючись відомим кутом θ, також можна визначити лінійну відстань, який точка пройшла уздовж окружності. Це відстань дорівнюватиме:

L = θ*r

Тут r – радіус даної окружності.

Кутова швидкість і прискорення

Кінематичні формули руху по колу точки припускають також використання понять кутової швидкості і кутового прискорення. Позначимо першу буквою ω (омега), а другу літерою α (альфа).

Фізичний сенс кутової швидкості ω простий: ця величина показує, на який кут в радіанах повертається точка за кожну секунду часу. Дане визначення має наступне математичне подання:

ω = dθ/dt

Ця формула швидкості руху по колу записана в диференціальній формі. Отримана з її допомогою величина ω називається миттєвою швидкістю. Її зручно використовувати, якщо рух не є рівномірним, тобто відбувається із змінною швидкістю.

Кутове прискорення α – це величина, яка описує швидкість зміни швидкості ω, тобто:

α = dω/dt

Кутове прискорення вимірюється в радіанах в секунду квадратну (рад/с2). Так, 1 рад/с2 означає, що тіло збільшує за кожну секунду часу швидкість на 1 рад/с.

Враховуючи вираз для ω, записане вище рівність можна подати у такій формі:

α = d2θ/dt2

Залежно від особливостей руху по колу величина α може бути постійної, змінної або нульовий.

Рівномірний рух

Коли на обертове тіло не діє ніяка зовнішня сила, то кутова швидкість буде залишатися постійної скільки завгодно тривалий час. Такий рух отримало назву рівномірного обертання. Воно описується наступною формулою:

θ = ω*t

У цьому виразі змінними є всього дві величини: t і θ. Швидкість ω = const.

Слід відзначити один важливий момент: нулю дорівнює лише рівнодіюча зовнішніх сил на тіло, внутрішні сили, що діють в системі, не дорівнюють нулю. Так, внутрішня сила змушує обертове тіло змінювати свою прямолінійну траєкторію на криволінійну (окружність). Ця сила приводить до появи доцентрового прискорення. Останнє не змінює ні швидкість ω, ні лінійну швидкість v, вона лише змінює напрям руху.

Равноускоренное рух по колу

Формули для цього типу переміщення можна отримати безпосередньо з наведених математичних виразів, величин ω і α. Равноускоренное рух передбачає, що за більш-менш тривалий проміжок часу модуль і напрям прискорення α не змінюються. Завдяки цьому можна проінтегрувати диференціальне рівняння α і отримати наступні дві формули:

ω = ω0 + α*t;
ω = ω0 – α*t

Очевидно, що в першому випадку рух буде рівноприскореним, у другому – равнозамедленным. Величина ω0 тут – це деяка початкова швидкість, якої обертове тіло володіло до появи прискорення.

Для равноускоренного руху не існує кінцевої швидкості, оскільки вона може зростати як завгодно довго. Для равнозамедленного руху кінцевим станом буде припинення обертання, тобто ω = 0.

Тепер запишемо формули для визначення кута θ при русі з постійним прискоренням. Ці формули виходять, якщо зробити подвійне інтегрування по часу для вираження α через θ. Виходять наступні вирази:

θ = ω0*t + α*t2/2;
θ = ω0*t – α*t2/2

Тобто центральний кут θ, на який тіло повернеться за час t, дорівнює сумі двох доданків. Перший доданок – це внесок у θ рівномірного руху, друге – равноускоренного (равнозамедленного).

Зв’язок між кутовими і лінійними величинами

При розгляді поняття кута повороту θ вже була наведена формула, яка його пов’язує з лінійним відстанню L. Тут же розглянемо аналогічні вирази для швидкості ω і прискорення α.

Лінійна швидкість v при рівномірному русі визначається як відстань L, пройдену за час t, тобто:

v = L/t

Підставляючи сюди вираз для L через θ, отримуємо:

v = L/t = θ/t*r = ω*r

Ми отримали зв’язок між лінійною і кутовою швидкістю. Важливо відзначити, що зручність використання кутової швидкості пов’язано з тим, що вона не залежить від радіусу кола. У свою чергу, лінійна швидкість v зростає лінійно зі збільшенням r.

Залишається записати зв’язок між лінійним прискоренням a і його кутовим аналогом α. Щоб це зробити, запишемо вираз для швидкості v при рівноприскореному русі без початкової швидкості v0. Отримуємо:

v = a*t

Підставляємо сюди отримане вираження зв’язку між v і ω:

ω*r = a*t =>
a = ω/t*r = α*r

Як і швидкість, лінійне прискорення, спрямована по дотичній до окружності, залежить від радіуса.

Прискорення центростремительное

Вище вже було сказано кілька слів про цю величиною. Тут наведемо формули, які можна використовувати для її обчислення. Через швидкість v вираз для доцентрового прискорення ac має вигляд:

ac = v2/r

Через кутову швидкість його можна записати так:

ac = ω2*r2/r = ω2*r

Величина ac не має ніякого відношення до тангенціального прискорення a. Центростремительное прискорення забезпечує підтримання обертового тіла на одній окружності.

Завдання на визначення кутової швидкості обертання планети

Відомо, що ближче всього до сонця знаходиться Меркурій. Вважаючи, що він обертається по колу навколо світила, ми можемо визначити його кутову швидкість ω.

Для розв’язання задачі слід звернутися до довідковим даним. З них відомо, що планета робить повний оберт навколо світила за 87 днів 23,23 години земних. Цей час називається періодом обігу. Враховуючи, що рух відбувається з постійною кутовою швидкістю, запишемо робочу формулу: