Величина I для стрижня
Тепер застосуємо формулу для визначення моменту інерції тонкого стержня. Принциповим моментом тут є той факт, що його товщина повинна бути набагато менше довжини L. Масу стержня позначимо літерою M. Момент інерції розрахуємо для положення осі, яка проходить через центр мас тіла і перпендикулярна йому.
Почнемо розрахунок все з тієї ж формули, що і у випадку з циліндром:
I = ∫V(ρ*r2*dV).
Подумки разрежем весь стрижень на тонкі шари. Позначимо площу перерізу кожного з них S, а його товщину – dl. Тоді отримуємо формулу для dV:
dV = S*dl.
Тепер можна обчислити момент інерції тіла:
I = ∫-L/2+L/2(ρ*S*l2*dl).
Зауважимо, що кожен шар знаходиться від осі обертання на відстані l, тому ми замінили літеру r. Крім того, звертаємо увагу на межі інтегрування, які мають таке значення тому, що вісь проходить точно через середину стрижня. В результаті отримуємо:
I = ∫-L/2+L/2(ρ*S*l2*dl) = ρ*S*l3/3|-L/2+L/2 = M*L2/12.
За допомогою аналогічних міркувань і обчислень можна показати, що якщо вісь обертання проходить через який-небудь кінець стрижня, то його момент інерції буде в чотири рази більше, тобто:
I = M*L2/3.
