Величина I для циліндра
Кожен школяр уявляє собі фігуру “циліндр”. По правді кажучи, вони бувають найрізноманітнішими (еліптичними, гиперболическими, похилими). Тут розглянемо найпростіший випадок. Це прямий круговий циліндр, який обмежене циліндричною поверхнею і двома однаковими колами. Вісь обертання фігури проходить через її центр мас і через центри обох підстав. Обчислимо щодо неї момент інерції тіла.
Запишемо вихідну формулу:
I = ∫V(ρ*r2*dV).
Щоб її застосувати, уявімо собі циліндр у вигляді тонко нарізаних круглих однакових шарів. Позначимо їх товщину dl, радіус фігури дорівнює R, а висота – L. Тепер кожен тонкий шар об’ємом pi*R2*dl разрежем на безліч кілець, товщина кожного з яких дорівнює dr. Після виконання всіх описаних уявних геометричних операцій можна записати формулу для елементарного об’єму dV, тобто для обсягу одного кільця:
dV = 2*pi*r*dr*dl.
В результаті цього подання вихідний вираз для I перетворюється у формулу з подвійним інтегралом:
I = ∫L∫R(ρ*r2*2*pi*r*dr*dl) = 2*pi*ρ*L*R4/4 = M*R2/2.
Де буквою M зазначена маса всього циліндра.
Таким чином, ми отримали кінцевий вираз для моменту інерції циліндра. Як видно, він визначається тільки радіусом фігури та її масою і не залежить від довжини (висоти). Останнє означає, що аналогічну формулу можна застосовувати для визначення величини I для диска будь-якої товщини.
