Момент інерції щодо O1
В першу чергу випишемо загальну формулу. Маємо:
I = ∫V(ρ*r2*dV).
Позначимо площу перерізу стрижня буквою S. Очевидно, що вона прагне до нуля, оскільки тонкий стрижень. Але це зручно ввести позначення для виконання подальших розрахунків.
Тепер подумки розіб’ємо стрижень на безліч дрібних шматочків, кожен з яких буде мати переріз S і товщину dl. Замінюючи r l у формулі вище, отримуємо:
I = ∫L(ρ*S*l2*dl).
Залишається тільки підставити правильні межі інтегрування і записати кінцеву формулу. Оскільки вісь O1 проходить через середину стрижня, то межі інтегрування будуть наступними:
I = ∫-L/2 L/2(ρ*S*l2*dl).
Результатом обчислення цього інтеграла є наступна формула:
I = M*L2/12.
Таким чином, момент інерції тонкого стержня визначається його масою та довжиною.
Момент інерції щодо O2
Тепер розглянемо ситуацію, коли вісь обертання буде проходити через будь-який з кінців стрижня і буде йому перпендикулярна. Відповідну формулу можна отримати із записаного вище інтеграла, якщо правильно підставити межі інтегрування. Однак ми підемо трохи іншим шляхом і визначимо момент інерції за допомогою теореми Штейнера.
Вона говорить про те, що якщо дві осі є паралельними один одному і одна з них (вісь O) проходить через центр мас тіла, момент інерції щодо другої осі може бути обчислений за допомогою такого рівняння:
I = I0 + M*h2.
Тут I0 – момент інерції стержня відносно осі O, h – відстань між осями.
Цю формулу можна з успіхом застосувати для нашого випадку. Оскільки I0 ми розрахували в попередньому пункті статті щодо осі O1, і відстань між O1 і O2 становить L/2, то з використанням теореми Штейнера отримуємо наступний результат:
I = I0 + M*h2 = M*L2/12 + M*L2/4 = M*L2/3.
Таким чином, для стрижня величина I відносно осі O2 в 4 рази більше, ніж відносно осі O1. Це означає, що для надання однакового кутового прискорення стрижня у випадку обертання навколо осі O2 слід додати у 4 рази більший крутний момент, ніж у випадку осі O1.
