Момент інерції однорідного стрижня та тонкого. Використання теореми Штейнера. Приклад завдання

У фізиці для опису інерційних якостей або лінійного поступального руху користуються поняттям маси тіла. Якщо ж рух розглядається навколо деякої осі обертання, то використовують дещо іншу фізичну характеристику – момент інерції. У цій статті розглянемо, що це за величина і як можна розрахувати момент інерції тонкого стержня.

Обертання і момент інерції

Момент інерції найпростіше ввести для матеріальної точки. Коли вона, володіючи масою M, що обертається навколо осі, описуючи окружність радіусом R, то момент інерції визначається за формулою:

I = M*R2.

Будь-яке реальне тіло, якою б складною геометричною формою воно не володіло, можна представити як сукупність матеріальних точок. Це означає, що для всього тіла або системи твердих тіл величину I можна обчислити, якщо проінтегрувати по елементарним масам dm вираз вище. Загальна формула для визначення моменту інерції має вигляд:

I = ∫m(r2*dm).

Через об’єм і щільність це рівність записується в такому вигляді:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Його часто застосовують для обчислення значень I конкретних геометричних об’єктів.

Фізичний зміст моменту інерції I полягає в тому, що він визначає, наскільки складно даної силу, що створює певний крутний момент, розкрутити або зупинити обертову систему. Іншими словами, I характеризує інерційні властивості досліджуваної системи.

Найвідомішим прикладом використання моменту інерції є маховик двигуна внутрішнього згоряння в автомобілях. Завдяки великому значенню величини I, маховик забезпечує плавність руху автомобіля, згладжуючи будь-які різкі впливу на колінчастий вал. Приклад іншого характеру, де також важливо знати момент інерції, – це закон збереження моменту імпульсу. Застосовується він для повороту навколо осі штучних супутників в космічному просторі Землі.

Тонкий стрижень і осі обертання

Далі буде розглянутий момент інерції стержня відносно осей (різних). Обчислення будуть проводитися для тонкого стрижня, який має однорідним розподілом маси, тобто його щільність у всіх точках є постійною величиною. Під тонким розуміють такий стрижень, у якого ширина (товщина) набагато менше, ніж його довжина L. Для позначення його маси будемо використовувати букву M.

Дивіться також:  Мезони - це що за частинки? Поняття, опис, властивості та типи мезонів

З наведених вище формул випливає, що величина I залежить від відносного положення тіла і осі обертання. Для стрижня можна виділити три основних осі. Одна з них проходить через довжину всього стрижня. Оскільки його товщина дорівнює нулю, то момент інерції для такого положення тіла також буде прагнути до цього значення.

Дві інші осі перпендикулярні довжині аналізованого тіла. Одна з них проходить через центр мас, назвемо її O1, друга – через кінець стрижня, позначимо її O2. Щодо них і обчислимо величину I.

Момент інерції щодо O1

В першу чергу випишемо загальну формулу. Маємо:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Позначимо площу перерізу стрижня буквою S. Очевидно, що вона прагне до нуля, оскільки тонкий стрижень. Але це зручно ввести позначення для виконання подальших розрахунків.

Тепер подумки розіб’ємо стрижень на безліч дрібних шматочків, кожен з яких буде мати переріз S і товщину dl. Замінюючи r l у формулі вище, отримуємо:

I = ∫L(ρ*S*l2*dl).

Залишається тільки підставити правильні межі інтегрування і записати кінцеву формулу. Оскільки вісь O1 проходить через середину стрижня, то межі інтегрування будуть наступними:

I = ∫-L/2 L/2(ρ*S*l2*dl).

Результатом обчислення цього інтеграла є наступна формула:

I = M*L2/12.

Таким чином, момент інерції тонкого стержня визначається його масою та довжиною.

Момент інерції щодо O2

Тепер розглянемо ситуацію, коли вісь обертання буде проходити через будь-який з кінців стрижня і буде йому перпендикулярна. Відповідну формулу можна отримати із записаного вище інтеграла, якщо правильно підставити межі інтегрування. Однак ми підемо трохи іншим шляхом і визначимо момент інерції за допомогою теореми Штейнера.

Вона говорить про те, що якщо дві осі є паралельними один одному і одна з них (вісь O) проходить через центр мас тіла, момент інерції щодо другої осі може бути обчислений за допомогою такого рівняння:

I = I0 + M*h2.

Тут I0 – момент інерції стержня відносно осі O, h – відстань між осями.

Дивіться також:  Мохенджо-Даро і Хараппа: історія, залишений місто, стародавня цивілізація і теорії про зникнення

Цю формулу можна з успіхом застосувати для нашого випадку. Оскільки I0 ми розрахували в попередньому пункті статті щодо осі O1, і відстань між O1 і O2 становить L/2, то з використанням теореми Штейнера отримуємо наступний результат:

I = I0 + M*h2 = M*L2/12 + M*L2/4 = M*L2/3.

Таким чином, для стрижня величина I відносно осі O2 в 4 рази більше, ніж відносно осі O1. Це означає, що для надання однакового кутового прискорення стрижня у випадку обертання навколо осі O2 слід додати у 4 рази більший крутний момент, ніж у випадку осі O1.

Приклад завдання

Дан тонкий стрижень довжиною 0,5 м і масою 5 кг На відстані 2/5 від кінця розташована вісь обертання перпендикулярна стрижня. Чому дорівнює момент інерції системи?

Для розв’язання задачі скористаємося теоремою Штейнера. Відстань між осями O1 і заданої в завданні одно:

h = 0,25 – 0,2 = 0,05 м.

Тоді отримуємо момент інерції стрижня (однорідного):

I = I0 + M*h 2= 5*0,52/12 + 5*0,052 = 0,117 кг*м2.

В СІ момент інерції стрижня вимірюється в зазначених одиницях.