Піраміда є досконалою геометричною фігурою, форму якої можна зустріти в деяких предметах з нашого життя, наприклад, в магічні амулети. У цій статті розглянемо, як знайти площу правильної трикутної піраміди і наведемо відповідну формулу.
Трикутна піраміда, тетраедр або
В геометрії пірамідою називають такий геометричний об’єкт, який складається з n трикутників і одного n-кутника. Всі трикутники перетинаються в точці, яка називається вершиною фігури, а n-кутник є її підставою. Не складно здогадатися, що назва піраміди визначається числом сторін n-кутника.
У відповідності з темою даної статті, ми розглянемо трикутну піраміду. Її n-вугільним підставою є також трикутник. Тому така піраміда складається з 4 трикутних граней, кожну з яких можна розглядати в якості підстави. У трикутної піраміди 4 рівноправних вершини і 6 ребер. Оскільки число сторін фігури дорівнює 4, то її також називають тетраедром. Для наочності наведемо зображення трикутної піраміди:
На малюнку показаний вид зверху на фігуру.
Правильна піраміда з трикутним підставою і її розгортка
У загальному випадку трикутником на підставі може бути фігура довільної форми. Однак якщо цим трикутником є рівнобічна фігура, і перпендикуляр, опущений з вершини на основу, перетинає трикутник в його центрі, тоді мову ведуть про правильній піраміді.
Правильна трикутна піраміда складається з рівностороннього трикутника, бік якого позначимо буквою a, і трьох рівнобедрених трикутників, які одне одному рівні. При певному співвідношенні висоти фігури h і довжини a рівнобедрені трикутники можуть стати рівносторонніми, тоді всі чотири грані піраміди будуть рівні між собою.
Для визначення площі розглянутої фігури найпростіше виконати її розгортку на площину. Малюнок нижче показує, що являє собою ця розгортка.
Тут показані чотири трикутники, з яких рівносторонній є основою піраміди, а три рівнобедрених фігури складають її бічну поверхню. Сума площ усіх трикутників утворює площа правильної трикутної піраміди.
Формула площі
З курсу планіметрії кожен школяр знає, як знайти площу трикутника. Для цього слід здійснити такі обчислення:
S3 = 1/2 * a * ha.
Тут a – підстава трикутника, ha – його висота (індекс a введений, щоб відрізняти цю величину від висоти піраміди h).
У разі рівностороннього трикутника його висота дорівнює:
ha = √3/2 * a.
Тоді формула підстави площі правильної трикутної піраміди набуває вигляду:
S3 = 1/2 * a * √3/2 * a = √3/4 * a2.
Тобто для визначення площі підстави достатньо знати тільки довжину його сторони.
Щоб визначити площу бічної поверхні Sb, введемо поняття апофемы піраміди. Апофемой називають висоту будь-якого з бічних трикутників, яка опущена з вершини піраміди на сторону основи. Всі апофемы в правильній піраміді дорівнюють один одному. Позначимо їх довжини символом hb. Оскільки розглянута піраміда складається з трьох боків, то площа Sb обчислюється за формулою:
Sb = 3/2 * a * hb.
Залишається зробити останній крок, щоб записати формулу площі правильної трикутної піраміди:
S = S3 + Sb = √3/4 * a2 + 3/2 * a * hb.
Зауважимо, що площа поверхні даної геометричної фігури визначається однозначно, якщо знати два лінійних її параметра (a і hb).
Рішення завдання
Висота основи правильної трикутної піраміди дорівнює 10 см. Висота самої фігури в два рази більше довжини сторони підстави. Чому дорівнює площа поверхні цієї піраміди?
Оскільки нам відомо значення висоти підстави і відношення між висотою фігури рівностороннього трикутника з стороною, то цієї інформації достатньо, щоб відповісти на запитання задачі. В першу чергу визначимо бік a і значення висота h, маємо:
ha = √3/2 * a;
a = 2 * ha / √3 = 11,547 см;
h = 2 * a = 23,094 див.
У параграфі вище була наведена формула для S, однак їй скористатися на даному етапі завдання ми не можемо, оскільки ми не знаємо апофему hb. Останню нескладно вирахувати, якщо перевірити, що вона є гіпотенузою в прямокутному трикутнику, катетами якого будуть висота h і 1/3 висоти підстави. Враховуючи сказане, отримуємо:
hb = √(h2 + (1/3 * ha)2) = √(23,0942 + (1/3 * 10)2) = 23,333 див.
Зауважимо, що значення hb трохи більше, ніж висота h фігури.
Ми знайшли всі параметри, які стоять у формулу для S, тепер можна обчислити шукану площу:
S = √3/4 * a2 + 3/2 * a * hb = √3/4 * 11,5472 + 3/2 * 11,547 * 23,333 = 409,14 см2.
Формула для S записана у такому вигляді, що дозволяє окремо визначити площу основи і бічної поверхні.
