Ознаки подільності на 15: як знайти, приклади і задачі з рішенням

Найчастіше при вирішенні завдань потрібно дізнатися, ділиться те чи інше число на задану цифру без залишку. Але кожен раз ділити його дуже довго. До того ж велика ймовірність допустити помилку в розрахунках і піти від правильної відповіді. Для того щоб уникнути цієї проблеми, були знайдені ознаки подільності на основні прості або однозначні числа: 2, 3, 9, 11. Але що робити, якщо потрібно провести поділ на іншу, більшу цифру? Наприклад, як розрахувати ознака подільності на 15? Відповідь на це питання ми постараємося знайти в даній статті.

Як сформулювати ознаку подільності на 15?

Якщо для простих чисел ознаки подільності добре відомі, то що робити з рештою?

Якщо число не є простим, то його можна розкласти на множники. Наприклад, 33 – це твір 3 і 11, а 45 – 9 і 5. Існує властивість, згідно з яким число ділиться на дане без залишку в разі, якщо його можна розділити і на той, і інший множник. Це означає, що будь-яке велике число можна представити у вигляді простих, і вже виходячи з них, формулювати ознака подільності.

Отже, нам потрібно дізнатися, чи можна розділити дане число на 15. Для цього розглянемо його детальніше. Число 15 можна уявити, як твір 3 і 5. Значить, щоб число ділилося на 15, воно має бути кратно одночасно 3 і 5. Це і є ознака подільності на 15. Надалі ми розглянемо його докладніше і сформулюємо точніше.

Як дізнатися, що число ділиться на 3?

Згадаймо ознака подільності на 3.

Число ділиться на 3, якщо сума його цифр (кількість одиниць, десятків, сотень і так далі) ділиться на 3.

Дивіться також:  Сюртук — це... Значення і походження слова

Так, наприклад, необхідно дізнатися, які з цих чисел можна розділити на 3 без остачі: 76348, 24606, 1128904, 540813.

Звичайно, можна просто розділити дані числа в стовпці, але це займе чимало часу. Тому ми скористаємося ознакою подільності на 3.

  • 7 + 6 + 3 + 4 + 8 = 28. Число 28 не ділиться на 3, то й 76348 не ділиться на 3.
  • 2 + 4 + 6 + 0 + 6 = 18. Число 18 можна розділити на 3 — значить, і дане число ділиться на 3 без остачі. Дійсно, 24 606 : 3 = 8 202.

Таким же чином проаналізуємо інші числа:

  • 1 + 1 + 2 + 8 + 9 + 4 = 25. Число 25 не ділиться на 3. Отже, 1 128 904 не ділиться на 3.
  • 5 + 4 + 0 + 8 + 1 + 3 = 21. Число 21 ділиться на 3, а це означає, що 540 813 ділиться на 3. (540 813 : 3 = 180 271)

Відповідь: 24 606 і 540 813.

Коли число ділиться на 5?

Однак ознака подільності числа на 15 також включає в себе не тільки подільність на 3, але і кратність п’яти.

Ознака подільності на 5 такий: число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 5 або на 0.

Наприклад, потрібно знайти числа кратні 5: 11 467, 909, 670, 840 435, 67 900

Числа 11 467 та 909 не діляться на 5.

Числа 670, 840 435 67 900 закінчуються на 0 або 5, а значить, кратні 5.

Приклади з рішенням

Отже, тепер ми можемо повноцінно сформулювати ознаку подільності на 15: число ділиться на 15 тоді, коли сума його цифр кратна 3, а останньою цифрою є або 5, або 0. Важливо відзначити, що обидва ці умови повинні виконуватися одночасно. Інакше ми отримаємо число кратне не 15, а тільки 3 або 5.

Ознака подільності чисел на 15 дуже часто потрібен для вирішення контрольних та екзаменаційних завдань. Наприклад, часто в базовому рівні ЄДІ з математики зустрічаються завдання, засновані на розумінні саме цієї теми. Розглянемо деякі їх вирішення на практиці.

Дивіться також:  Аудієнція — це що таке? Тлумачення і синоніми

Завдання 1.

Серед чисел знайдіть ті, які діляться на 15.

9 085 475; 78 545; 531; 12 000; 90 952

Отже, для початку відкинемо ті числа, які очевидно не відповідають нашим критеріям. Це 531 і 90 952. Незважаючи на те, що сума 5+3+1 = 9 ділиться на 3, число закінчується на одиницю, а значить, не підходить. Те ж саме стосується 90 952, яке закінчується на 2.

9 085 475, 78 545 і 12 000 задовольняють першому критерію, тепер перевіримо їх на відповідність другому.

9+0+8+5+4+7+5 = 38, 38 не ділиться на 3. Значить, це число є зайвим у нашому ряду.

7+8+5+4+5 = 29. 29 не кратно 3, не задовольняє умовам.

А ось 1+2 = 3, 3 ділиться націло на 3, це означає, що саме це число і є відповіддю.

Відповідь: 12 000

Завдання 2.

Тризначне число З більше 700 і ділиться на 15. Запишіть найменше таке число.

Отже, за ознакою подільності на 15 дане число повинне закінчуватися на 5 або 0. Так як потрібно найменше з можливих, візьмемо 0 – це буде останньою цифрою.

Так як число більше 700, то першою може бути цифра 7 або більше. Пам’ятаючи, що нам слід знайти найменше значення, вибираємо 7.

Щоб число ділилося на 15, повинно виконуватися умова 7+х+0 = число, кратне 3, де х – кількість десятків.

Отже, 7+х+0 = 9

Х = 9 -7

Х = 2

Число 720 – шукане.

Відповідь: 720

Завдання 3.

Викресліть з числа 3426578 будь-які три цифри так, щоб отримане число було кратне 15.

По-перше, шукане число повинно закінчуватися на цифру 5 або 0. Отже, останні дві цифри – 7 і 8 потрібно викреслити відразу.

Залишається 34265.

3+4+2+6+5 = 20, 20 не ділиться на 3. Найближчим кратне число 3 – це 18. Для того, щоб отримати його, потрібно відняти 2. Викреслюємо цифру 2.

Дивіться також:  Фізика будови речовини. Відкриття. Експерименти. Розрахунки

Виходить 3465. Перевіримо свою відповідь, 3465 : 15 = 231.

Відповідь: 3465

У даній статті були розглянуті основні ознаки подільності на 15 з прикладами. Цей матеріал повинен допомогти учням з вирішенням завдань такого типу та їм подібних, а також зрозуміти алгоритм роботи з ними.