Обсяг призми правильної чотирикутної
Чотирикутна призма називається параллелепипедом. Якщо у неї всі грані рівні і являють собою квадрати, то така фігура буде кубом. Кожен школяр знає, що обсяг прямокутного паралелепіпеда або куба визначається в результаті множення трьох його різних сторін (довжини, висоти і ширини). Цей факт випливає з записаного загального вираження обсягу для правильної фігури:
V = n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h = 4/4 × ctg ( pi / 4) × a2 × h = a2 × h.
Тут котангенс від 45° дорівнює 1. Зауважимо, що рівність висоти h і довжини сторони підстави a автоматично призводить до формули об’єму куба.
Обсяг призми правильної шестикутної
Тепер застосуємо викладену вище теорію для визначення об’єму фігури з шестикутним підставою. Для цього слід лише підставити значення n=6 в формулу:
V = 6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h = 3 × √3/2 × a2 × h.
Записане вираз можна отримати самостійно, не користуючись універсальною формулою для Sn. Щоб це зробити необхідно розділити правильний шестикутник на шість рівносторонніх трикутників. Сторона кожного з них буде дорівнює a. Площа одного трикутника відповідає:
S3 = √3/4 × a2.
Помноживши цю величину на кількість трикутників (6) і на висоту, ми отримаємо записану вище формулу для об’єму.
