Тангенціальне, або дотичне прискорення

Усі тіла, які оточують нас, знаходяться в постійному русі. Переміщення в просторі тел спостерігається на всіх масштабних рівнях, починаючи з руху елементарних частинок в атомах речовини і закінчуючи прискореним рухом галактик у Всесвіті. У будь-якому випадку процес руху відбувається з прискоренням. У цій статті докладно розглянемо поняття стосовного прискорення і наведемо формули, за якою його можна розрахувати.

Кінематичні величини

Перш ніж вести розмову про дотичному прискоренні, розглянемо, якими величинами прийнято характеризувати довільне механічне переміщення тіл у просторі.

В першу чергу — це шлях L. Він показує, яку відстань в метрах, сантиметрах, кілометрах і так далі пройшло тіло за певний проміжок часу.

Друга важлива характеристика в кінематиці — це швидкість тіла. На відміну від шляху, вона є величиною векторною і спрямована вздовж траєкторії руху тіла. Швидкість визначає швидкість зміни просторових координат у часі. Формула для обчислення має вигляд:

v = dL/dt

Швидкість – це похідна по часу шляху.

Нарешті, третьою важливою характеристикою руху тіл є прискорення. Згідно з визначенням у фізиці, прискорення — це величина, яка визначає зміну швидкості від часу. Формулу можна записати у вигляді:

a = dv/dt

Прискорення, як і швидкість, теж є величиною векторною, проте на відміну від неї воно спрямоване у бік зміни швидкості. Напрямок прискорення також збігається з вектором результуючої сили, що надає дію на тіло.

Траєкторія руху і прискорення

Багато завдань у фізиці розглядають в рамках прямолінійного руху. У цьому випадку, як правило, не говорять про дотичному прискорення точки, а працюють з лінійним прискоренням. Однак якщо переміщення тіла не є лінійним, то повне його прискорення може бути розкладено на дві складові:

дотичну;
нормальну.

У випадку лінійного руху нормальна складова дорівнює нулю, тому про векторному розкладанні прискорення не говорять.

Таким чином, траєкторія руху багато в чому визначає характер і складові частини повного прискорення. Під траєкторією руху розуміють уявну лінію в просторі, вздовж якої тіло переміщається. Будь-яка криволінійна траєкторія призводить до появи ненульових компонент прискорення, зазначених вище.

Визначення тангенціального прискорення

Тангенціальне або, як його ще називають, дотичне прискорення — це компонента повного прискорення, яка направлена по дотичній до траєкторії руху. Оскільки вздовж траєкторії спрямована також швидкість, то вектор тангенціального прискорення збігається з вектором швидкості.

Вище було дано поняття прискорення як міри зміни швидкості. Оскільки швидкість – це вектор, то змінити її можна або по модулю, або за направленням. Дотичне прискорення визначає тільки зміна модуля швидкості.

Зауважимо, що у випадку прямолінійного руху вектор швидкості свого напрямку не змінює, тому, згідно з наведеним визначенням, тангенціальне прискорення і лінійне прискорення – це одна і та ж величина.

Одержання рівняння щодо прискорення

Припустимо, що тіло рухається по деякій кривій траєкторії. Тоді його швидкість v у вибраній точці можна представити в наступному вигляді:

v = v*ut

Тут v — модуль вектора v, ut — одиничний вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії.

Використовуючи математичне визначення прискорення, отримуємо:

a = dv/dt = d(v*ut)/dt = dv/dt*ut + v*d(ut)/dt

При знаходженні похідної тут використовувалося властивість добутку двох функцій. Ми бачимо, що повне прискорення a в розглянутій точці відповідає сумі двох доданків. Вони є дотичним і нормальним прискоренням точки відповідно.

Скажемо пару слів про нормальному прискоренні. Воно відповідально за зміну вектора швидкості, тобто за зміну напрямку руху тіла вздовж кривої. Якщо обчислити значення другого доданку, то вийде формула для нормального прискорення:

an = v*d(ut)/dt = v2/r

Нормальне прискорення спрямоване вздовж нормалі, відновленої в дану точку кривої. У випадку руху по колу нормальне прискорення є доцентровим.

Рівняння щодо прискорення at має вигляд:

at = dv/dt*ut

Це вислів говорить про те, що тангенціальне прискорення відповідає зміні не напряму, а модуля швидкості v за момент часу. Оскільки тангенціальне прискорення направлена по дотичній до розглянутої точки траєкторії, то воно завжди перпендикулярно нормальної компоненті.

Тангенціальне прискорення і модуль повного прискорення

Вище була представлена вся інформація, яка дозволяє обчислити повне прискорення через дотичне і нормальне. Дійсно, так як обидві компоненти є взаємно перпендикулярними, то їх вектора утворюють катети прямокутного трикутника, гіпотенузою якого є вектор повного прискорення. Цей факт дозволяє записати формулу для модуля повного прискорення в наступному вигляді:

a = √(an2 + at2)

Кут θ між повним прискоренням і тангенціальним можна визначити так:

θ = arccos(at/a)

Чим більше тангенціальне прискорення, тим ближче виявляються напрямки стосовного і повного прискорення.

Зв’язок стосовного і кутового прискорення

Типовою криволінійною траєкторією, по якій рухаються тіла в техніці і природі, є коло. Дійсно, переміщення шестерень, лопатей і планет навколо власної осі або навколо своїх світил відбувається саме по колу. Рух, що відповідає цій траєкторії, називається обертанням.

Кінематика обертання характеризується тими ж величинами, що кінематика руху по прямій, проте, вони мають кутовий характер. Так, для опису обертання використовують центральний кут повороту θ, кутові швидкість ω і прискорення α. Для цих величин справедливі наступні формули:

ω = dθ/dt;
α = dω/dt

Припустимо, що тіло вчинила один оборот навколо осі обертання за час t, тоді для швидкості кутовий можна записати:

ω = 2*pi/t

Лінійна швидкість в цьому випадку буде дорівнювати:

v = 2*pi*r/t

Де r – радіус траєкторії. Останні два вирази дозволяють записати формулу зв’язку двох швидкостей:

v = ω*r

Тепер обчислимо похідну по часу від лівої і правої частин рівності, отримаємо:

dv/dt = r*dω/dt

В правій частині рівності варто твір кутового прискорення на радіус кола. Ліва частина рівності – це зміна модуля швидкості, тобто дотичне прискорення.

Таким чином, тангенціальне прискорення та аналогічна кутова величина пов’язані рівністю:

at = α*r

Якщо припустити, що обертається диск, то тангенціальне прискорення точки при постійній величині α буде лінійно зростати зі збільшенням відстані від цієї точки до осі обертання r.

Далі, вирішимо дві задачі на застосування записаних вище формул.

Визначення тангенціального прискорення за відомою функцією швидкості

Відомо, що швидкість тіла, що рухається по деякій кривій траєкторії, описується наступною функцією від часу:

v = 2*t2 + 3*t + 5

Необхідно визначити формулу щодо прискорення та знайти його значення в момент часу t = 5 секунд.

Спочатку запишемо формулу для модуля тангенціального прискорення:

at = dv/dt

Тобто для обчислення функції at(t) слід визначити похідну від швидкості за часом. Маємо:

at = d(2*t2 + 3*t + 5)/dt = 4*t + 3

Підставляючи в отримане вираз час t = 5 секунд, приходимо до відповіді: at = 23 м/с2.

Зауважимо, що графіком швидкості від часу в даній задачі є парабола, графік ж тангенціального прискорення – це пряма лінія.

Завдання на визначення тангенціального прискорення

Відомо, що матеріальна точка початку равноускоренное обертання з нульового моменту часу. Через 10 секунд після початку обертання її центростремительное прискорення стало рівним 20 м/с2. Необхідно визначити дотичне прискорення точки через 10 секунд, якщо відомо, що радіус обертання дорівнює 1 метр.

Спочатку запишемо формулу для доцентрового або нормального прискорення ac: