Завдання з трикутною пірамідою
Вирішимо задачу на прикладі найпростішої піраміди – трикутною. Умова проста: нижче дано координати вершин піраміди, обсяг знайти потрібно для фігури, яка на цих координатах побудовано:
- A(1; 0; 3);
- B(0; 2; -1);
- C(3; 3; 1);
- D(4; 3; 4).
Покладемо, що підстава піраміди є трикутник ABC. Знайдемо довжини векторів AB і AC:
AB = (-1; 2; -4);
AC = (2; 3; -2).
Векторний добуток AB і AC дасть нам, з одного боку, подвійну площа трикутника, тобто 2 * So, а з іншого боку, ми отримаємо координати нормального до площині вектора n, маємо:
n = [AB * AC] = (8; -10; -7).
Площа трикутного підстави дорівнює полудлине вектора n, тобто:
So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3.
Перш ніж розраховувати відстань від D до площини ABC, необхідно записати рівняння площини. Три його коефіцієнта (A, B, C) ми вже знаємо, вони відповідають координатам нормалі n. Вільний член можна одержати, підставивши в рівняння координати будь-якої точки площини, наприклад точки A, маємо:
D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13.
Тоді рівняння площини основи піраміди приймає форму:
8 * x – 10 * y – 7 * z + 13 = 0.
Тепер застосовуємо наведену вище формулу для розрахунку відстані від точки D(4; 3; 4) до знайденої площині, отримуємо:
d = |(8 * 4 – 10 * 3 – 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89.
Оскільки знайдене значення відстані d відповідає висоті піраміди трикутної h, то можна скористатися формулою для об’єму фігури:
V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166.
Отримане значення обсягу виражена в кубічних одиницях обраної координатної системи.
