Фігура конус є об’єктом вивчення стереометрії. Основними властивостями конуса є наявність у нього обсягу і площі поверхні, які можна обчислити за допомогою лінійних параметрів. Одним з них є діаметр конуса. У даній статті ми покажемо, як цей діаметр можна розрахувати за іншим відомим характеристикам фігури.
Круглий прямий конус
У загальному випадку конусом є фігура, побудована в результаті руху відрізку вздовж деякої кривої на площині, при цьому другий кінець відрізка зафіксований в певній точці простору. Сам відрізок називається генератрисой, або утворює, а крива – директрисою, або напрямної.
Згідно з наведеним визначенням, крива, яка обмежує фігуру, може бути абсолютно будь-якого типу. Найвідомішими з них є парабола, гіпербола, еліпс і окружність. В останньому випадку говорять про круглому конусі.
Круглий конус може бути похилим і прямим. Обидві фігури показано нижче на малюнку.
Тут r – радіус кола, що обмежує основа фігури. Буквою h позначена висота, яка представляє опущений на основу з вершини конуса перпендикуляр. Буквою a позначена вісь конуса. Видно, що у випадку прямої фігури його висота збігається з віссю, тобто перетинає коло в її центрі.
Крім радіусу r і висоти h, важливим лінійним параметром конуса є довжина його твірної g. Як було сказано, твірна – це відрізок, що з’єднує директрису з висотою. Для прямого круглого конуса все що утворюють рівні один одному.
Далі в статті, розкриваючи питання щодо того, як знайти діаметр конуса, буде розглядатися тільки конус круглий і прямий.
Обчислення діаметра фігури через лінійні параметри і кут при основі
Описану просторову фігуру можна отримати, якщо обертати навколо будь-якого катета прямокутний трикутник. Цей факт демонструє малюнок нижче.
З малюнка видно, що два катета AC і AB є радіусом r і висотою h об’ємної фігури відповідно. Генератриса g – це гіпотенуза BC. Ці відповідності дозволяють записати формулу діаметра конуса через відомі g і h:
d = 2*√(g2 – h2)
При запису цієї формули використовувалась теорема Піфагора, а також визначення діаметра, який в два рази більший за радіус основи конуса.
Якщо відомий кут φ між підставою і будь утворюють фігури g, тоді діаметр конуса можна визначити за такими формулами:
d = 2*g*cos(φ);
d = 2*h/tg(φ)
Обидва рівності є наслідком застосування визначення тригонометричних функцій і косинуса тангенса.
Обчислення діаметра через площу поверхні і генератрису
Поверхня розглянутого конуса утворена конічною поверхнею і круглим підставою. Розгортка конуса показана нижче.
Загальна площа розгортки визначається по наступній формулі:
S = pi*r2 + pi*r*g
Якщо відома площа S і генератриса g, тоді це рівняння дозволяє обчислити радіус фігури, а значить, і її діаметр. Зауважимо, що мова йде про рівняння другого порядку відносно радіуса r. Вирішувати його слід з використанням дискримінанта. При вирішенні, як правило, виходять два кореня, один з яких негативний. Він повинен бути відкинутий, не зважаючи на його фізичної значення.
З використанням описаної методики в кінці статті буде вирішена задача, і буде отримана відповідь на питання про те, чому дорівнює діаметр конуса.
Визначення діаметру через об’єм і висоту
Тепер покажемо, як знайти діаметр конуса, знаючи його об’єм V і висоту h. Для цього необхідно згадати, що обсяг конуса, як і обсяг будь піраміди, можна визначити, користуючись наступним рівністю:
V = 1/3*S*h
Тут S – площа підстави. Оскільки площа підстави в розглянутому випадку є площею кола, то цей вираз можна переписати в такому вигляді:
V = 1/3*pi*r2*h
Залишається висловити звідси радіус і помножити його в два рази, і ми одержимо відповідь на питання про те, як знайти діаметр конуса через величини V і h. Маємо:
r = √(3*V/(pi*h));
d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))
Зауважимо, що в правій частині виходить розмірність довжини. Це доводить правильність отриманої формули.
Всі записані в статті формули для діаметра d фігури також є справедливими для радіуса, який буде в два рази менше діаметра.
Завдання на визначення діаметра через відому площу конуса і його утворюючу
Дан конус, площа поверхні якого становить 150 см2. Генератриса дорівнює 14 див. Чому дорівнює діаметр конуса?
Для отримання відповіді на поставлене питання використовуємо описану в статті методику. Спочатку випишемо відповідне рівняння:
S = pi*r2 + pi*r*g =>
r2 + 14*r – 150/3,14 = 0
При отриманні останньої рівності ми розділили ліву і праву її частини на число Пі. Розраховуємо дискриминант D. Маємо:
D = 142 – 4*1*(-150/3,14) = 387,0828
Отриманий дискриминант наведено з точністю до 0,0001. Формула для коренів рівняння r має наступний вигляд:
r = (-14±√D)/2
Очевидно, що один з коренів буде негативним. Його не будемо обчислювати. Визначимо лише шуканий позитивний радіус фігури:
r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см
Щоб знайти діаметр конуса, залишається помножити значення на два і записати відповідь: d = 5,674 див.
Наприкінці зазначимо, що, знаючи два будь параметра круглого конуса прямого, можна визначити будь-яку його характеристику, включаючи обсяг і площа поверхні.
