Завдання з вписаним в призму циліндром
Відомо, що циліндр з радіусом 12 см вписаний в правильну шестикутну призму. Об’єм циліндра дорівнює 1360 см3. Чому дорівнює об’єм призми?
Як було показано, визначити об’єм призми можна, якщо знати її висоту і сторону основи. Почнемо з визначення сторони. Оскільки радіус r кола, вписаного в шестикутник, відомий, значить, довжину сторони a можна розрахувати так:
a = 2*r/√3.
Зрозуміти, звідки взялася ця формула, можна, якщо врахувати, що радіус r є заввишки одного з шести рівносторонніх трикутників шестикутника.
Тепер обчислимо висоту h призми. Згідно з умовою задачі, вона повинна збігатися з висотою циліндра. Об’єм циліндра розраховується за тією ж формулою, що і для призми. Маємо:
Vc = So*h = pi*r2*h =>
h = Vc/(pi*r2).
Підставляємо вирази для a і h у формулу для V призми, отримуємо:
V = 3*√3/2*h*a2 = 3*√3/2*Vc/(pi*r2)*(2*r/√3)**2 = 2*√3*Vc/pi.
Ми прийшли до цікавого результату: виявляється, обсяг шестикутної призми не залежить від радіуса вписаного циліндра, а однозначно визначається його об’ємом. Підставивши значення Vc, отримуємо об’єм призми, рівний приблизно 1500 см3.
