Початок наукової діяльності
У 1929 р. Соболєв закінчив вуз і влаштувався працювати в Сейсмологічного інституту АН СРСР, очолюваний Володимиром Івановичем Смирновим. Він трудився в теоретичному відділі, де зміг провести кілька глибоких наукових досліджень. Разом зі Смирновим розробив методику функціонально-інваріантних рішень і потім застосував її до розв’язання динамічних задач теорії пружності. Ця методика лягла в основу теорії поширення пружних хвиль. Крім того, Сергій Львович вирішив знамениту завдання Лемба і побудував строгу теорію поверхневих хвиль Релея.
У 1932 р. Соболєв почав працювати в Математичному інституті Стеклова (МІАН), у відділі диференціальних рівнянь. Вже через рік його обрали членом-кореспондентом АН СРСР за видатні заслуги в галузі математики.
Московський період
У 1934-му разом з Математичним інститутом Сергій Львович Соболєв переїхав у Москву і був призначений завідувачем відділом. У цей період учений займався функціональним аналізом і дослідженням теорії рівнянь з частинними похідними. Методи та ідеї, запропоновані в даних роботах, згодом стали частиною золотого фонду світової науки і отримали подальший розвиток в працях багатьох вітчизняних і зарубіжних математиків.
У цьому ж році на Всесоюзному з’їзді в Ленінграді Соболєв надав низку доповідей з теорії рівнянь з частинними похідними, в яких вперше докладно виклав основи поняття «узагальнені функції». У наступні роки математик розвивався в цьому напрямку. На основі узагальненої похідної вивчив і ввів нові функціональні простору, в літературі отримали назву «простори Соболєва». Методи та ідеї вченого отримали розвиток в обчислювальній математиці, рівняннях математичної фізики та диференціальних рівняннях.
У 1939 р. в тридцятирічному віці Сергій Львович став дійсним членом АН СРСР. Протягом багатьох років він залишався самим молодим радянським академіком.
