Типові помилки
1) Багато в самому початку вивчення многочлена невірно виписують коефіцієнти, наприклад звертають увагу на порядок мономов в запису.
Так, старший коефіцієнт a в рівнянні 101 – 79x + 38×2 дорівнює 38, а не 101, як можна було б подумати.
Ще однією помилкою, пов’язаною з коефіцієнтами рівняння, є так звана “втрата знака”. В цьому ж прикладі коефіцієнт b = -79, а не 79.
2) Звикаючи використовувати теорему Вієта для випадку, коли a = 1, школярі часом забувають про її повної формулюванні. У поліномі з першого пункту неправильно вважати, що сума коренів дорівнює 79, оскільки перший коефіцієнт відмінний від 1.
3) Обчислювальні помилки – найбільш поширена проблема учнів. Уникнути їх у багатьох випадках допомагає перевірка підстановкою.
Поліномів третього ступеня і вище
Поліноми більш високого ступеня в школі розглядають рідко, оскільки завдання для знаходження коренів многочленів третього ступеня і вище є трудомісткою. Існують алгоритми високої обчислювальної складності для розкладання многочлена третього і четвертого ступеня. Для п’ятої ступеня і вище доведена теорема про нерозв’язності рівняння радикалів у загальному вигляді.
Окремі випадки цих багаточленів, які можуть бути розглянуті в старших класах, характеризуються наявністю раціональних легко подбирающихся коренів. Кількість останніх не може перевищувати ступінь полінома. При роботі з комплексною площиною їх число в точності збігається зі старшою ступенем.
Многочлени непарної ступеня завжди мають хоча б один дійсний корінь. Це легко показати графічно – неперервна функція, задана таким поліномом, має як позитивні, так і негативні значення, а значить, проходить через 0.
Всі корені двох многочленів збігаються тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти пропорційні.
В цілому завдання щодо пошуку коренів і завдання побудови розкладання можна вважати еквівалентними.
