Правило розкладання на множники
Завдання вирішується в дійсних числах в тому випадку, якщо у многочлена є коріння. Розкладання визначається формулою:
ax2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2)
Приклади
Завдання: знайдіть розкладання на множники квадратних тричленної.
а) х2 – 6х + 5
Рішення: випишемо коефіцієнти тричлена:
а = 1; b = -6; с = 5.
Використовуємо теорему Вієта:
х1 + х2 = 6;
х1 × х2 = 5.
Видно, що х1 = 1, х2 = 5.
Якщо за виписаними равенствам теореми не вдається швидко знайти коріння, варто відразу перейти до обчислення дискримінанта.
Після того, як знайдені коріння, потрібно підставити їх у формулу для розкладання:
х2 – 6х + 5 = (х – 1)(х – 5)
Результат, записаний у такому вигляді, можна вважати остаточним.
б) 2х2 + х – 1
Рішення:
а = 2, b = 1, с = -1.
Якщо старший коефіцієнт відмінний від 1, застосування теореми Вієта зазвичай вимагає більше часу, ніж рішення через дискриминант, тому перейдемо до його обчисленню.
D = 1 – 4 × 2 × (-1) = 9.
x1 = 1/2; х2 = -1.
За формулою маємо:
2х2 + х – 1 = 2(х – 1/2)(х + 1).
в)х2 – 8х + 16
Рішення:
а = 1; b = -8; с = 16.
D = 0.
Так як дискриминант дорівнює нулю, маємо випадок збігу коренів:
х1 = х2 = 4.
Ця ситуація, однак, принципово не відрізняється від розглянутих раніше.
х2 – 8х + 16 = 1(х – 4)(х – 4)
Результат частіше записують у вигляді: (х – 4)2.
г)х2 – 7х + 1
Рішення:
а = 1; b = -7; с = 1.
D = 45.
Наведений приклад відрізняється від попередніх тим, що спробувати можна отримати раціональний корінь. Значить, і коріння полінома є ірраціональними.
х1 = -1/2(7 + √45); х2 = -1/2(7 – √45).
Або, що те ж саме,
х1 = -3,5 – 1/2√45; х2 = -3,5 + 1/2√45.
Останній варіант зручніше використовувати для запису розкладу. Опустивши старший коефіцієнт, рівний тут 1, отримаємо:
х2 – 7х + 1 = (х + 3,5 + 1/2√45)(х + 3,5 – 1/2√45)
Для випадку, коли дискриминант від’ємний, в рамках шкільної програми досить наступного відповіді: тричлен не має коренів і, отже, не розкладається на множники. Такі трехчлены ще називають неприводимыми. Важливо розуміти, що мова йде лише про наявність або відсутність дійсних коренів.
Якщо ж розглядається поле комплексних чисел, розкладання квадратного тричлена на множники можливо при будь-якому дискриминанте.
