Вивчення полінома другого ступеня приділено багато уваги в курсі алгебри восьмого класу. Якщо цей матеріал засвоєний школярем погано, то неминучі проблеми на іспитах ОГЕ і ЄДІ, як профільного рівня, так і бази. До обов’язкових навичкам, пов’язаним з квадратичными функціями, відноситься побудова і аналіз графіків, рішення рівнянь.
Розкладання квадратного тричлена на множники – одна із стандартних шкільних завдань. Вона є допоміжною при вирішенні нерівності методом інтервалів.
Знаходження коренів рівняння
Перше, що необхідно для розкладання многочлена на множники, – відшукати його коріння.
Коріння – числа, які звертають суму мономов у складі многочлена в нуль, що графічно виглядає як перетин з горизонтальною віссю. Вони визначаються з допомогою дискримінанта або теореми Вієта.
Дискриминант тричлена ax2 + bx + c обчислюється за формулою: D = b2т – 4ac.
У разі, коли дискриминант не негативний, коріння виражаються через нього і коефіцієнти полінома:
х1 = 1/2(-b + √D); x2 = 1/2(-b – √D)
Якщо дискриминант дорівнює нулю, х1 і х2 збігаються.
Для вирішення деяких тричленної зручно користуватися теоремою Вієта:
х1 + х2 = -b : a; x1 × x2 = c : a
Потрібна певна математична інтуїція для застосування теореми. Суть полягає в тому, щоб, знаючи суму і добуток двох невідомих, підібрати ці числа. Якщо вони існують, то знаходяться єдиним чином (з точністю до перестановки).
Переконатися в справедливості теореми можна, обчисливши суму і добуток коренів у загальному вигляді. Формули для x1 і x2 також перевіряються безпосередній підстановкою.
Правило розкладання на множники
Завдання вирішується в дійсних числах в тому випадку, якщо у многочлена є коріння. Розкладання визначається формулою:
ax2 + bx + c = а(х – х1)(х – х2)
Приклади
Завдання: знайдіть розкладання на множники квадратних тричленної.
а) х2 – 6х + 5
Рішення: випишемо коефіцієнти тричлена:
а = 1; b = -6; с = 5.
Використовуємо теорему Вієта:
х1 + х2 = 6;
х1 × х2 = 5.
Видно, що х1 = 1, х2 = 5.
Якщо за виписаними равенствам теореми не вдається швидко знайти коріння, варто відразу перейти до обчислення дискримінанта.
Після того, як знайдені коріння, потрібно підставити їх у формулу для розкладання:
х2 – 6х + 5 = (х – 1)(х – 5)
Результат, записаний у такому вигляді, можна вважати остаточним.
б) 2х2 + х – 1
Рішення:
а = 2, b = 1, с = -1.
Якщо старший коефіцієнт відмінний від 1, застосування теореми Вієта зазвичай вимагає більше часу, ніж рішення через дискриминант, тому перейдемо до його обчисленню.
D = 1 – 4 × 2 × (-1) = 9.
x1 = 1/2; х2 = -1.
За формулою маємо:
2х2 + х – 1 = 2(х – 1/2)(х + 1).
в)х2 – 8х + 16
Рішення:
а = 1; b = -8; с = 16.
D = 0.
Так як дискриминант дорівнює нулю, маємо випадок збігу коренів:
х1 = х2 = 4.
Ця ситуація, однак, принципово не відрізняється від розглянутих раніше.
х2 – 8х + 16 = 1(х – 4)(х – 4)
Результат частіше записують у вигляді: (х – 4)2.
г)х2 – 7х + 1
Рішення:
а = 1; b = -7; с = 1.
D = 45.
Наведений приклад відрізняється від попередніх тим, що спробувати можна отримати раціональний корінь. Значить, і коріння полінома є ірраціональними.
х1 = -1/2(7 + √45); х2 = -1/2(7 – √45).
Або, що те ж саме,
х1 = -3,5 – 1/2√45; х2 = -3,5 + 1/2√45.
Останній варіант зручніше використовувати для запису розкладу. Опустивши старший коефіцієнт, рівний тут 1, отримаємо:
х2 – 7х + 1 = (х + 3,5 + 1/2√45)(х + 3,5 – 1/2√45)
Для випадку, коли дискриминант від’ємний, в рамках шкільної програми досить наступного відповіді: тричлен не має коренів і, отже, не розкладається на множники. Такі трехчлены ще називають неприводимыми. Важливо розуміти, що мова йде лише про наявність або відсутність дійсних коренів.
Якщо ж розглядається поле комплексних чисел, розкладання квадратного тричлена на множники можливо при будь-якому дискриминанте.
Типові помилки
1) Багато в самому початку вивчення многочлена невірно виписують коефіцієнти, наприклад звертають увагу на порядок мономов в запису.
Так, старший коефіцієнт a в рівнянні 101 – 79x + 38×2 дорівнює 38, а не 101, як можна було б подумати.
Ще однією помилкою, пов’язаною з коефіцієнтами рівняння, є так звана “втрата знака”. В цьому ж прикладі коефіцієнт b = -79, а не 79.
2) Звикаючи використовувати теорему Вієта для випадку, коли a = 1, школярі часом забувають про її повної формулюванні. У поліномі з першого пункту неправильно вважати, що сума коренів дорівнює 79, оскільки перший коефіцієнт відмінний від 1.
3) Обчислювальні помилки – найбільш поширена проблема учнів. Уникнути їх у багатьох випадках допомагає перевірка підстановкою.
Поліномів третього ступеня і вище
Поліноми більш високого ступеня в школі розглядають рідко, оскільки завдання для знаходження коренів многочленів третього ступеня і вище є трудомісткою. Існують алгоритми високої обчислювальної складності для розкладання многочлена третього і четвертого ступеня. Для п’ятої ступеня і вище доведена теорема про нерозв’язності рівняння радикалів у загальному вигляді.
Окремі випадки цих багаточленів, які можуть бути розглянуті в старших класах, характеризуються наявністю раціональних легко подбирающихся коренів. Кількість останніх не може перевищувати ступінь полінома. При роботі з комплексною площиною їх число в точності збігається зі старшою ступенем.
Многочлени непарної ступеня завжди мають хоча б один дійсний корінь. Це легко показати графічно – неперервна функція, задана таким поліномом, має як позитивні, так і негативні значення, а значить, проходить через 0.
Всі корені двох многочленів збігаються тоді і тільки тоді, коли їх коефіцієнти пропорційні.
В цілому завдання щодо пошуку коренів і завдання побудови розкладання можна вважати еквівалентними.
